Use a definição de derivada f^prime(x)=lim h 0 f(x+h)-f(x)h para determinar as derivadas das seguintes funções f(x)=2+x3-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada da função usando a definição de derivada. Isso está dentro do conteúdo de cálculo, especificamente no estudo das derivadas. Para resolver, vamos precisar aplicar a definição de derivada passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada:
f^prime(x) = limh 0 f(x + h) - f(x)h
Isso significa que precisamos calcular o limite conforme se aproxima de zero da diferença entre e dividida por .

Passo 3

Vamos calcular f(x + h) = 2 + (x + h)3 - (x + h) = 2 + x + h3 - x - h . Substituindo por na função:

Passo 4

Agora, vamos montar a expressão f(x + h) - f(x) = 2 + x + h3 - x - h - 2 + x3 - x :

Passo 5

Para subtrair essas duas frações, precisamos de um denominador comum. O denominador comum é f(x + h) - f(x) = (2 + x + h)(3 - x) - (2 + x)(3 - x - h)(3 - x - h)(3 - x) . Então, reescrevemos as frações:

Passo 6

Vamos expandir os numeradores:
(2 + x + h)(3 - x) = 6 - 2x + 3x - x^2 + 3h - xh
(2 + x)(3 - x - h) = 6 - 2x - 2h + 3x - x^2 - xh
Subtraindo as duas expressões:
(6 - 2x + 3x - x^2 + 3h - xh) - (6 - 2x - 2h + 3x - x^2 - xh) = 5h

Passo 7

Agora, substituímos de volta na expressão da derivada:
f^prime(x) = limh 0 5hh(3 - x - h)(3 - x)
Podemos cancelar o f^prime(x) = limh 0 5(3 - x - h)(3 - x) no numerador e denominador:

Passo 8

Finalmente, ao fazer f^prime(x) = 5(3 - x)^2 se aproximar de zero:

Resposta

A derivada da função f^prime(x) = 5(3 - x)^2 é:

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