Prove, para x > 0, a desigualdade x - x^3/6 < sen(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a seguinte desigualdade para :
Isso envolve conhecimentos de funções trigonométricas e análise de séries de Taylor. Vamos precisar entender como a função seno se comporta e como podemos compará-la com um polinômio simples.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a função seno pode ser expandida em uma série de Taylor em torno de . A série de Taylor da função seno é:
Essa série nos mostra que o seno de pode ser aproximado por um polinômio infinito, onde cada termo adicional melhora a precisão da aproximação.

Passo 3

Agora, vamos observar a expressão que queremos comparar com o seno:
Esse é o início da série de Taylor de , mas sem os termos seguintes. Ou seja, estamos pegando apenas os dois primeiros termos da expansão.

Passo 4

Para provar que para , vamos comparar os termos das duas expressões. Sabemos que:
Como vemos, todos os termos após alternam entre positivos e negativos, mas o próximo termo positivo é .

Passo 5

Para , é positivo. Isso significa que:
Portanto,
porque adicionamos um termo positivo e subtraímos outros termos menores que não cancelam completamente esse aumento.

Passo 6

Assim, concluímos que para todo , a desigualdade é verdadeira.

Resposta

Para todo , a desigualdade é válida.

Exercícios relacionados