Prove, para
, a desigualdade
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a seguinte desigualdade para
:
Isso envolve conhecimentos de funções trigonométricas e análise de séries de Taylor. Vamos precisar entender como a função seno se comporta e como podemos compará-la com um polinômio simples.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a função seno pode ser expandida em uma série de Taylor em torno de
. A série de Taylor da função seno é:
Essa série nos mostra que o seno de
pode ser aproximado por um polinômio infinito, onde cada termo adicional melhora a precisão da aproximação.
Passo 3
Agora, vamos observar a expressão que queremos comparar com o seno:
Esse é o início da série de Taylor de
, mas sem os termos seguintes. Ou seja, estamos pegando apenas os dois primeiros termos da expansão.
Passo 4
Para provar que
para
, vamos comparar os termos das duas expressões. Sabemos que:
Como vemos, todos os termos após
alternam entre positivos e negativos, mas o próximo termo positivo é
.
Passo 5
Para
,
é positivo. Isso significa que:
Portanto,
porque adicionamos um termo positivo e subtraímos outros termos menores que não cancelam completamente esse aumento.
Passo 6
Assim, concluímos que para todo
, a desigualdade
é verdadeira.
Resposta
Para todo
, a desigualdade
é válida.
Exercícios relacionados
Mostre que sen
.
(Sugestão: para , use propriedades da trigonometria, para
, use derivada)
(Sugestão: para
Esboce a regiano limitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a
ou a
. Desentic um retângulo típico de aproximação e coloque sua altura e largura. Entāo calcule a área da região.