F(x)=lll 0 & se & x<1 0.1 & se & 1 <= x<2 0.3 & se & 2 <= x<3 0.7 & se & 3 <= x<4 0.8 & se & 4 <= x<5 1 & se & 5 <= x
Calcule a função de probabilidade da variável cuja f.d.a. é F(cdot). Calcule ainda o valor esperado e a variância de X. Determine as seguintes probabilidades:
P(1 <= X<2), P(X=4), P(X>3), P(X <= 4)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que tá rolando aqui. Temos uma função de distribuição acumulada (FDA) que descreve a probabilidade de uma variável aleatória ser menor ou igual a certos valores de . Nosso objetivo é:
  1. Encontrar a função de probabilidade (ou função massa de probabilidade) de .
  2. Calcular o valor esperado e a variância de .
  3. Determinar algumas probabilidades específicas: , , e .
Pra fazer tudo isso, vamos precisar entender como transformar a FDA em uma função de probabilidade e aplicar algumas fórmulas de estatística básica.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a função de distribuição acumulada P(X = x) = 0.1 & se x = 1 0.2 & se x = 2 0.4 & se x = 3 0.1 & se x = 4 0.2 & se x = 5 0 & caso contrário em uma função de probabilidade . A função de probabilidade nos dá a chance de assumir exatamente cada valor possível.
A FDA nos diz a probabilidade de ser menor ou igual a . Então, para encontrar , precisamos ver o quanto aumenta exatamente no ponto .
Vamos calcular para cada intervalo:
  • Para :
  • Em : e
  • Em : e
  • Em : e
  • Em : e
  • Em : e
Então, a função de probabilidade é:
á

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor esperado E[X] = sumx x cdot P(X = x) , que é a média ponderada dos valores possíveis de E[X] = 1 cdot 0.1 + 2 cdot 0.2 + 3 cdot 0.4 + 4 cdot 0.1 + 5 cdot 0.2 = 0.1 + 0.4 + 1.2 + 0.4 + 1.0 = 3.1 , ponderados pelas suas probabilidades:
Substituindo os valores:
Então, o valor esperado de é 3.1.

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 , que mede a dispersão dos valores de E[X^2] = sumx x^2 cdot P(X = x) = 1^2 cdot 0.1 + 2^2 cdot 0.2 + 3^2 cdot 0.4 + 4^2 cdot 0.1 + 5^2 cdot 0.2 = 0.1 + 0.8 + 3.6 + 1.6 + 5.0 = 10.1 em relação à média. A fórmula é:
Var(X) = 10.1 - (3.1)^2 = 10.1 - 9.61 = 0.49
Primeiro, calculamos :
Agora, usamos a fórmula da variância:
Então, a variância de é 0.49.

Passo 5

Vamos calcular as probabilidades solicitadas:
  1. P(1 <= X < 2) = P(X = 1) = 0.1 :
Como P(X = 4) = 0.1 é uma variável discreta, P(X > 3) = P(X = 4) + P(X = 5) = 0.1 + 0.2 = 0.3 significa P(X <= 4) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = 0.1 + 0.2 + 0.4 + 0.1 = 0.8 .
  1. :
Diretamente da função de probabilidade:
  1. :
Isso inclui e .
  1. :
Isso inclui .

Resposta

A função de probabilidade de P(X = x) = 0.1 & se x = 1 0.2 & se x = 2 0.4 & se x = 3 0.1 & se x = 4 0.2 & se x = 5 0 & caso contrário é
P(1 <= X < 2) = 0.1 á
O valor esperado de P(X = 4) = 0.1 é P(X > 3) = 0.3 , e a variância é P(X <= 4) = 0.8 .
As probabilidades solicitadas são:

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