Três máquinas, A, B e C produzem respectivamente 40%, 50 % e 10 % do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de peças defeituosas nas respectivas máquinas são 3 %, 5 % e 2 %. Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual a probabilidade de que a peça tenha vindo da máquina B ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos três máquinas na fábrica: A, B e C. Elas produzem, respectivamente, 40%, 50% e 10% de todas as peças. Além disso, cada máquina tem uma certa porcentagem de peças defeituosas: A tem 3%, B tem 5% e C tem 2%. A questão nos pergunta: se uma peça defeituosa foi sorteada ao acaso, qual a probabilidade dela ter vindo da máquina B?
Aqui, vamos usar probabilidade condicional, que nos ajuda a encontrar a probabilidade de um evento ocorrer dado que outro evento já aconteceu. Para isso, vamos precisar aplicar o Teorema de Bayes.

Passo 2

Vamos identificar os eventos:
  • : A peça veio da máquina A.
  • : A peça veio da máquina B.
  • : A peça veio da máquina C.
  • : A peça é defeituosa.
Sabemos que:
Nosso objetivo é encontrar , ou seja, a probabilidade de a peça ter vindo da máquina B dado que ela é defeituosa.

Passo 3

Para calcular P(B|D) = P(D|B) cdot P(B)P(D) , vamos usar o Teorema de Bayes, que é dado por:
P(D) = P(D|A) cdot P(A) + P(D|B) cdot P(B) + P(D|C) cdot P(C)
Aqui, é a probabilidade geral de uma peça ser defeituosa, independentemente de qual máquina a produziu. Para encontrar , usamos a Regra da Probabilidade Total:

Passo 4

Vamos calcular P(D) = (0,03 times 0,4) + (0,05 times 0,5) + (0,02 times 0,1) usando os valores que temos:
0,03 times 0,4 = 0,012
Calculando cada termo:
0,05 times 0,5 = 0,025
0,02 times 0,1 = 0,002
P(D) = 0,012 + 0,025 + 0,002 = 0,039
Somando todos:

Passo 5

Agora que temos P(B|D) = P(D|B) cdot P(B)P(D) = 0,05 times 0,50,039 , podemos aplicar o Teorema de Bayes para encontrar 0,05 times 0,5 = 0,025 :
P(B|D) = 0,0250,039 approx 0,641
Calculando o numerador:
Então:

Resposta

A probabilidade de que a peça defeituosa tenha vindo da máquina B é aproximadamente 64,1%.

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