Três máquinas, A, B e C produzem respectivamente 40%,
e
do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de peças defeituosas nas respectivas máquinas são
e
. Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual a probabilidade de que a peça tenha vindo da máquina
?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos três máquinas na fábrica: A, B e C. Elas produzem, respectivamente, 40%, 50% e 10% de todas as peças. Além disso, cada máquina tem uma certa porcentagem de peças defeituosas: A tem 3%, B tem 5% e C tem 2%. A questão nos pergunta: se uma peça defeituosa foi sorteada ao acaso, qual a probabilidade dela ter vindo da máquina B?
Aqui, vamos usar probabilidade condicional, que nos ajuda a encontrar a probabilidade de um evento ocorrer dado que outro evento já aconteceu. Para isso, vamos precisar aplicar o Teorema de Bayes.
Passo 2
Vamos identificar os eventos:
-
: A peça veio da máquina A. -
: A peça veio da máquina B. -
: A peça veio da máquina C. -
: A peça é defeituosa.
Sabemos que:
Nosso objetivo é encontrar
, ou seja, a probabilidade de a peça ter vindo da máquina B dado que ela é defeituosa.
Passo 3
Para calcular
, vamos usar o Teorema de Bayes, que é dado por:
Aqui,
é a probabilidade geral de uma peça ser defeituosa, independentemente de qual máquina a produziu. Para encontrar
, usamos a Regra da Probabilidade Total:
Passo 4
Vamos calcular
usando os valores que temos:
Calculando cada termo:
Somando todos:
Passo 5
Agora que temos
, podemos aplicar o Teorema de Bayes para encontrar
:
Calculando o numerador:
Então:
Resposta
A probabilidade de que a peça defeituosa tenha vindo da máquina B é aproximadamente 64,1%.
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Quais das seguintes relações são verdadeiras?
.
A probabilidade de um indivíduo
contrair uma doença
é
, uma doença B é
e uma doença C é
. A probabilidade do indivíduo com doença A ficar com lesões é
; com doença B ficar com lesões é
e com doença C ficar com lesões é
. Foi encontrado lesão no indivíduo X. Qual a probabilidade de que tenha sido causado pela doença B?
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- Determine a probabilidade de que a primeira solda defeituosa seja encontrada exatamente na
inspeção. - Calcule a probabilidade de que a primeira solda defeituosa seja encontrada antes da
inspeção. - Qual é o número esperado de inspeções até que o inspetor encontre a primeira solda defeituosa?