a) Suponha que 40 % da classe é do sexo feminino. Qual é a probabilidade de que 6 de 10 estudantes a serem sorteados seja feminino?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que 40% da classe é do sexo feminino. Queremos saber qual a chance de, se sortearmos 10 estudantes, exatamente 6 deles serem mulheres. Para resolver isso, vamos usar a teoria da probabilidade binomial, que é ótima para calcular a chance de um certo número de sucessos em várias tentativas independentes, com a mesma probabilidade de sucesso em cada tentativa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os elementos que precisamos para aplicar a fórmula da distribuição binomial:
  • n: número total de tentativas (neste caso, 10 estudantes).
  • k: número de sucessos desejados (neste caso, 6 mulheres).
  • p: probabilidade de sucesso em uma única tentativa (neste caso, 40% ou 0,4).

Passo 3

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.
  • é a probabilidade de ter k sucessos.
  • é a probabilidade de ter os demais fracos (n - k).

Passo 4

Vamos calcular o coeficiente binomial binom106 = 10!6! times (10 - 6)! = 10 times 9 times 8 times 74 times 3 times 2 times 1 = 210 :

Passo 5

Agora, calculamos p^k = 0.4^6 approx 0.004096 e (1 - p)^n - k = 0.6^4 approx 0.1296 :

Passo 6

Multiplicamos todos os componentes para encontrar a probabilidade:
P(X = 6) = 210 times 0.004096 times 0.1296 approx 0.1115

Resposta

A probabilidade de que exatamente 6 dos 10 estudantes sorteados sejam do sexo feminino é aproximadamente 11,15%.

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