Em um processo de construção de uma ponte, as soldas são inspecionadas uma a uma para identificar falhas. A probabilidade de uma solda ser defeituosa é de 0,02 . Um inspetor verifica cada solda consecutivamente até encontrar a primeira solda defeituosa.
- Determine a probabilidade de que a primeira solda defeituosa seja encontrada exatamente na
inspeção.
- Calcule a probabilidade de que a primeira solda defeituosa seja encontrada antes da
inspeção.
- Qual é o número esperado de inspeções até que o inspetor encontre a primeira solda defeituosa?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos um processo de construção de uma ponte onde cada solda é inspecionada uma a uma pra ver se está com defeito. A chance de uma solda ser defeituosa é de 2% (ou seja, 0,02). O inspetor vai verificando soldas uma após a outra até encontrar a primeira defeituosa. Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Geométrica, que é aquela que nos ajuda a descobrir a probabilidade de ocorrer o primeiro sucesso (neste caso, uma solda defeituosa) em uma certa tentativa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a primeira pergunta: Qual a probabilidade de que a primeira solda defeituosa seja encontrada exatamente na 10ª inspeção?
Na Distribuição Geométrica, a fórmula para a probabilidade de sucesso na k-ésima tentativa é:
onde:
-
(probabilidade de uma solda ser defeituosa) -
(a inspeção em que queremos encontrar a primeira solda defeituosa)
Substituindo na fórmula:
Passo 3
Vamos calcular o valor numérico dessa probabilidade:
Primeiro, calculamos
:
Agora, multiplicamos por 0,02:
Então, a probabilidade de encontrar a primeira solda defeituosa exatamente na 10ª inspeção é de aproximadamente 1,668%.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda pergunta: Qual a probabilidade de que a primeira solda defeituosa seja encontrada antes da 5ª inspeção?
Aqui, queremos saber a probabilidade de encontrar a primeira solda defeituosa na 1ª, 2ª, 3ª ou 4ª inspeção. Isso é a soma das probabilidades individuais:
Usando a mesma fórmula da Distribuição Geométrica:
Vamos calcular cada termo:
Passo 5
Agora, somamos essas probabilidades:
Portanto, a probabilidade de encontrar a primeira solda defeituosa antes da 5ª inspeção é de aproximadamente 7,76%.
Passo 6
Finalmente, vamos resolver a terceira pergunta: Qual é o número esperado de inspeções até que o inspetor encontre a primeira solda defeituosa?
Para a Distribuição Geométrica, o valor esperado (ou média) é dado por:
onde
.
Substituindo:
Isso significa que, em média, o inspetor precisará realizar 50 inspeções para encontrar a primeira solda defeituosa.
Resposta
- A probabilidade de que a primeira solda defeituosa seja encontrada exatamente na
inspeção é de aproximadamente 1,668%. - A probabilidade de que a primeira solda defeituosa seja encontrada antes da
inspeção é de aproximadamente 7,76%. - O número esperado de inspeções até que o inspetor encontre a primeira solda defeituosa é 50 inspeções.