Em um processo de construção de uma ponte, as soldas são inspecionadas uma a uma para identificar falhas. A probabilidade de uma solda ser defeituosa é de 0,02 . Um inspetor verifica cada solda consecutivamente até encontrar a primeira solda defeituosa.
  1. Determine a probabilidade de que a primeira solda defeituosa seja encontrada exatamente na 10^a inspeção.
  2. Calcule a probabilidade de que a primeira solda defeituosa seja encontrada antes da 5^ a inspeção.
  3. Qual é o número esperado de inspeções até que o inspetor encontre a primeira solda defeituosa?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos um processo de construção de uma ponte onde cada solda é inspecionada uma a uma pra ver se está com defeito. A chance de uma solda ser defeituosa é de 2% (ou seja, 0,02). O inspetor vai verificando soldas uma após a outra até encontrar a primeira defeituosa. Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Geométrica, que é aquela que nos ajuda a descobrir a probabilidade de ocorrer o primeiro sucesso (neste caso, uma solda defeituosa) em uma certa tentativa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a primeira pergunta: Qual a probabilidade de que a primeira solda defeituosa seja encontrada exatamente na 10ª inspeção?
Na Distribuição Geométrica, a fórmula para a probabilidade de sucesso na k-ésima tentativa é:
P(X = k) = (1 - p)^k-1 times p
onde:
  • P(X = 10) = (1 - 0,02)^10-1 times 0,02 (probabilidade de uma solda ser defeituosa)
  • P(X = 10) = (0,98)^9 times 0,02 (a inspeção em que queremos encontrar a primeira solda defeituosa)
Substituindo na fórmula:

Passo 3

Vamos calcular o valor numérico dessa probabilidade:
Primeiro, calculamos (0,98)^9 approx 0,834 :
0,834 times 0,02 approx 0,01668
Agora, multiplicamos por 0,02:
Então, a probabilidade de encontrar a primeira solda defeituosa exatamente na 10ª inspeção é de aproximadamente 1,668%.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda pergunta: Qual a probabilidade de que a primeira solda defeituosa seja encontrada antes da 5ª inspeção?
Aqui, queremos saber a probabilidade de encontrar a primeira solda defeituosa na 1ª, 2ª, 3ª ou 4ª inspeção. Isso é a soma das probabilidades individuais:
P(X < 5) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)
Usando a mesma fórmula da Distribuição Geométrica:
P(X = k) = (1 - p)^k-1 times p
Vamos calcular cada termo:

Passo 5

Agora, somamos essas probabilidades:
P(X < 5) = 0,02 + 0,0196 + 0,019208 + 0,01882384
P(X < 5) approx 0,07763184
Portanto, a probabilidade de encontrar a primeira solda defeituosa antes da 5ª inspeção é de aproximadamente 7,76%.

Passo 6

Finalmente, vamos resolver a terceira pergunta: Qual é o número esperado de inspeções até que o inspetor encontre a primeira solda defeituosa?
Para a Distribuição Geométrica, o valor esperado (ou média) é dado por:
E(X) = 1p
onde E(X) = 10,02 = 50 .
Substituindo:
Isso significa que, em média, o inspetor precisará realizar 50 inspeções para encontrar a primeira solda defeituosa.

Resposta

  1. A probabilidade de que a primeira solda defeituosa seja encontrada exatamente na 10^a inspeção é de aproximadamente 1,668%.
  2. A probabilidade de que a primeira solda defeituosa seja encontrada antes da 5^a inspeção é de aproximadamente 7,76%.
  3. O número esperado de inspeções até que o inspetor encontre a primeira solda defeituosa é 50 inspeções.

Exercícios relacionados