Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão nos dá a função definida no intervalo . Vamos precisar entender alguns conceitos básicos de logaritmos naturais, derivadas e integrais para resolver o que for pedido sobre essa função. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O logaritmo natural, , só está definido para valores de maiores que zero. Por isso, o intervalo faz sentido e está correto. Isso significa que qualquer valor de que a gente usar dentro desse intervalo vai dar um número real quando calcularmos .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função . A derivada nos mostra a taxa de variação da função em relação a , ou seja, como a função está mudando naquele ponto.
A derivada de é bem direta:
Isso significa que para qualquer valor de no intervalo dado, a inclinação da tangente à curva da função será .

Passo 4

Vamos agora calcular a integral da funç��o no intervalo de a . A integral nos dá a área sob a curva da função entre esses dois pontos.
A integral de é:
Aqui, é a constante de integração, que geralmente descartamos quando estamos calculando áreas definidas. Para o intervalo de a , a integral definida fica assim:
Calculando isso:

Passo 5

Vamos também analisar alguns valores da função no intervalo dado para entender melhor o comportamento dela.
  • Quando :
  • Quando :
Isso nos mostra que a função está aumentando conforme aumenta de para .

Resposta

A função está definida no intervalo . Sua derivada é , indicando que a inclinação da função diminui conforme aumenta. A integral da função no intervalo de a é . Além disso, e , mostrando que a função cresce nesse intervalo.

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