Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão nos dá a função
definida no intervalo
. Vamos precisar entender alguns conceitos básicos de logaritmos naturais, derivadas e integrais para resolver o que for pedido sobre essa função. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O logaritmo natural,
, só está definido para valores de
maiores que zero. Por isso, o intervalo
faz sentido e está correto. Isso significa que qualquer valor de
que a gente usar dentro desse intervalo vai dar um número real quando calcularmos
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada da função
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função em relação a
, ou seja, como a função está mudando naquele ponto.
A derivada de
é bem direta:
Isso significa que para qualquer valor de
no intervalo dado, a inclinação da tangente à curva da função
será
.
Passo 4
Vamos agora calcular a integral da fun�o
no intervalo de
a
. A integral nos dá a área sob a curva da função entre esses dois pontos.
A integral de
é:
Aqui,
é a constante de integração, que geralmente descartamos quando estamos calculando áreas definidas. Para o intervalo de
a
, a integral definida fica assim:
Calculando isso:
Passo 5
Vamos também analisar alguns valores da função no intervalo dado para entender melhor o comportamento dela.
- Quando
:
- Quando
:
Isso nos mostra que a função está aumentando conforme
aumenta de
para
.
Resposta
A função
está definida no intervalo
. Sua derivada é
, indicando que a inclinação da função diminui conforme
aumenta. A integral da função no intervalo de
a
é
. Além disso,
e
, mostrando que a função cresce nesse intervalo.
Exercícios relacionados
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de
. valo dado.
Encontre a área limitada acima por
, e abaixo por
, e limitada nos lados por
e
.