Encontre a área limitada acima por , e abaixo por , e limitada nos lados por e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de encontrar a área limitada pelas curvas e , entre e . Aqui, vamos precisar usar o conceito de cálculo integral, especificamente a integral definida para calcular a área entre duas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual das duas funções está por cima no intervalo de a . Isso é importante porque a área entre as curvas é dada pela integral da função de cima menos a função de baixo.
Vamos avaliar as funções nos extremos:
  • Para :


    Aqui, está acima de .
  • Para :


    Novamente, está acima de .
Então, sabemos que é a função de cima e é a de baixo no intervalo dado.

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral para encontrar a área. A fórmula para a área entre duas curvas e de a é:
No nosso caso, , , e . Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, separamos a integral em duas partes:
Calculando cada uma:
  1. Integral de :
Avaliada de 0 a 1:
  1. Integral de :
Avaliada de 0 a 1:

Passo 5

Agora, juntando as duas partes:

Resposta

A área limitada pelas curvas , , e é unidades de área. Aproximadamente, isso dá:
Então, a área é aproximadamente 1,218 unidades de área.

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