Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão nos dá e o que precisamos fazer. Aqui, temos a função . Estamos no mundo do cálculo, mais especificamente lidando com derivadas. Então, para resolver isso, vamos precisar saber como derivar uma função que envolve o produto de duas funções, usando a Regra do Produto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a Regra do Produto. Se temos uma função que é o produto de duas outras, digamos e , então a derivada dessa função é:
Isso significa que a derivada do produto é a derivada da primeira função vezes a segunda, mais a primeira função vezes a derivada da segunda.

Passo 3

Aplicando essa regra à nossa função , vamos identificar e :
Agora, vamos encontrar as derivadas de e :

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na Regra do Produto:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Aqui, simplifica para 5, já que cancela.

Resposta

A derivada da função é:

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Esboce o gráfico de uma função que satisfaça as condições dadas.
  • Assíntota vertical e se ;
  • se ;
  • se e se