Esboce o gráfico de uma função que satisfaça as condições dadas.
  • Assíntota vertical e se ;
  • se ;
  • se e se

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos o gráfico de uma função que atende a algumas condições específicas. A matéria envolvida aqui é cálculo, mais precisamente derivadas e concavidade de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como as derivadas primeira e segunda influenciam o comportamento do gráfico da função.

Passo 2

Primeiro, temos uma assíntota vertical em . Isso significa que a função não está definida em e, perto desse ponto, o gráfico da função vai “subir” ou “descer” infinitamente. Então, nosso gráfico vai ter uma linha vertical em que o gráfico nunca toca.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a derivada primeira, , que nos diz se a função está aumentando ou diminuindo.
  • Quando se : Isso significa que para valores de menores que 2, a função está aumentando.
  • Quando se (com ): Isso indica que para valores de maiores que -2 (exceto em ), a função está diminuindo.
Então, juntando essas informações, sabemos que a função aumenta até e diminui depois de , mas cuidado com por causa da assíntota.

Passo 4

Agora, vamos para a derivada segunda, , que nos fala sobre a concavidade do gráfico.
  • Quando se : A função é côncava para baixo nesse intervalo.
  • Quando se : A função é côncava para cima nesse intervalo.
Isso influencia como o gráfico se curva em cada região do domínio.

Passo 5

Vamos juntar tudo:
  1. Assíntota vertical em : O gráfico se aproxima do infinito quando se aproxima de pela esquerda e pela direita.
  2. Crescimento e decrescimento:
    • Para , a função está aumentando.
    • Para e , a função está diminuindo.
  3. Concavidade:
    • Para , o gráfico é côncavo para baixo.
    • Para , é côncavo para cima.

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • Começa aumentando à esquerda de , com concavidade para baixo.
  • À medida que se aproxima de , sobe de forma assintótica.
  • Após passar de , continua diminuindo, agora com concavidade para cima.
  • O ponto de inflexão está em devido à mudança na concavidade.

Resposta

O gráfico da função apresenta uma assíntota vertical em . Para , a função está aumentando com concavidade para baixo. Perto de , o gráfico sobe verticalmente. Para , a função está diminuindo com concavidade para cima. Assim, o esboço mostra uma curva que cresce à esquerda da assíntota, se aproxima verticalmente de , e então decresce à direita da assíntota.

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