Esboce o gráfico de uma função que satisfaça as condições dadas.
- Assíntota vertical
e
se
;
-
se
;
-
se
e
se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos o gráfico de uma função que atende a algumas condições específicas. A matéria envolvida aqui é cálculo, mais precisamente derivadas e concavidade de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como as derivadas primeira e segunda influenciam o comportamento do gráfico da função.
Passo 2
Primeiro, temos uma assíntota vertical em
. Isso significa que a função não está definida em
e, perto desse ponto, o gráfico da função vai “subir” ou “descer” infinitamente. Então, nosso gráfico vai ter uma linha vertical em
que o gráfico nunca toca.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a derivada primeira,
, que nos diz se a função está aumentando ou diminuindo.
-
Quando
se : Isso significa que para valores de menores que 2, a função está aumentando. -
Quando
se (com ): Isso indica que para valores de maiores que -2 (exceto em ), a função está diminuindo.
Então, juntando essas informações, sabemos que a função aumenta até
e diminui depois de
, mas cuidado com
por causa da assíntota.
Passo 4
Agora, vamos para a derivada segunda,
, que nos fala sobre a concavidade do gráfico.
-
Quando
se : A função é côncava para baixo nesse intervalo. -
Quando
se : A função é côncava para cima nesse intervalo.
Isso influencia como o gráfico se curva em cada região do domínio.
Passo 5
Vamos juntar tudo:
-
Assíntota vertical em
: O gráfico se aproxima do infinito quando se aproxima de pela esquerda e pela direita. -
Crescimento e decrescimento:
- Para
, a função está aumentando. - Para
e , a função está diminuindo.
- Para
-
Concavidade:
- Para
, o gráfico é côncavo para baixo. - Para
, é côncavo para cima.
- Para
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Começa aumentando à esquerda de
, com concavidade para baixo. - À medida que se aproxima de
, sobe de forma assintótica. - Após passar de
, continua diminuindo, agora com concavidade para cima. - O ponto de inflexão está em
devido à mudança na concavidade.
Resposta
O gráfico da função apresenta uma assíntota vertical em
. Para
, a função está aumentando com concavidade para baixo. Perto de
, o gráfico sobe verticalmente. Para
, a função está diminuindo com concavidade para cima. Assim, o esboço mostra uma curva que cresce à esquerda da assíntota, se aproxima verticalmente de
, e então decresce à direita da assíntota.
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