Se f(x) = ln(x) e se g(x) = 16 - 10 x + x^2, qual é o domínio da função (f o g)(x)? E o domínio da função (g o f)(x)?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções, e . A pergunta é sobre o domínio das composições dessas funções: e . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o domínio de uma função e como funciona a composição de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Ou seja, os valores que não causam problemas, como divisões por zero ou logaritmos de números negativos.

Passo 3

Vamos começar com . Isso significa que vamos primeiro calcular e depois aplicar nesse resultado. Matemáticamente, fica assim:
Para que esteja definido, o argumento do logaritmo, que é , precisa ser positivo. Então, precisamos que:

Passo 4

Vamos encontrar os valores de que satisfazem . Sabemos que:
Isso é uma parábola. Vamos encontrar as raízes dessa equação para saber onde ela muda de sinal.

Passo 5

Resolvendo usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 6

Agora, a parábola abre para cima (coeficiente de positivo), então ela é positiva fora das raízes. Ou seja, para e , .

Passo 7

Portanto, o domínio de é:

Passo 8

Agora, vamos encontrar o domínio de . Isso significa que vamos primeiro calcular e depois aplicar nesse resultado. Matemáticamente:
Para que esteja definido, precisamos que .

Passo 9

Logo, o domínio de é simplesmente , pois não há outras restrições depois que está definido.

Resposta

O domínio de é ou , e o domínio de é .

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