Se
e se
, qual é o domínio da função
? E o domínio da função
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções,
e
. A pergunta é sobre o domínio das composições dessas funções:
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o domínio de uma função e como funciona a composição de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Ou seja, os valores que não causam problemas, como divisões por zero ou logaritmos de números negativos.
Passo 3
Vamos começar com
. Isso significa que vamos primeiro calcular
e depois aplicar
nesse resultado. Matemáticamente, fica assim:
Para que
esteja definido, o argumento do logaritmo, que é
, precisa ser positivo. Então, precisamos que:
Passo 4
Vamos encontrar os valores de
que satisfazem
. Sabemos que:
Isso é uma parábola. Vamos encontrar as raízes dessa equação para saber onde ela muda de sinal.
Passo 5
Resolvendo
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 6
Agora, a parábola
abre para cima (coeficiente de
positivo), então ela é positiva fora das raízes. Ou seja, para
e
,
.
Passo 7
Portanto, o domínio de
é:
Passo 8
Agora, vamos encontrar o domínio de
. Isso significa que vamos primeiro calcular
e depois aplicar
nesse resultado. Matemáticamente:
Para que
esteja definido, precisamos que
.
Passo 9
Logo, o domínio de
é simplesmente
, pois não há outras restrições depois que
está definido.
Resposta
O domínio de
é
ou
, e o domínio de
é
.
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Considere a função
. Simplifique: