Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a função dada é uma função densidade de probabilidade (f.d.p.). Isso faz parte da matéria de Probabilidade e Estatística. Para provar que uma função é uma f.d.p., precisamos verificar dois pontos principais:
A função é sempre maior ou igual a zero para todo .
A integral de em todo o seu domínio é igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se para todo . Olhando para a função:
Para , é sempre positivo, e multiplicando por 2, ainda teremos um valor positivo. Para , , que também é maior ou igual a zero. Portanto, a primeira condição está satisfeita.
Passo 3
Agora, precisamos mostrar que a integral de de até é igual a 1. Como a função é zero para , podemos simplificar a integral para:
Vamos calcular essa integral.
Passo 4
Vamos integrar em rela��ão a de 0 a :
A integral de é , então:
Passo 5
Agora, vamos avaliar os limites:
Quando , .
Quando , .
Então:
Portanto, a integral de é igual a 1.
Resposta
Como é sempre maior ou igual a zero e a integral de em todo o domínio é igual a 1, concluímos que é realmente uma função densidade de probabilidade.