18a) Mostre que esta função é uma f.d.p.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a função dada é uma função densidade de probabilidade (f.d.p.). Isso faz parte da matéria de Probabilidade e Estatística. Para provar que uma função é uma f.d.p., precisamos verificar dois pontos principais:
  1. A função é sempre maior ou igual a zero para todo .
  2. A integral de em todo o seu domínio é igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se para todo . Olhando para a função:
Para , é sempre positivo, e multiplicando por 2, ainda teremos um valor positivo. Para , , que também é maior ou igual a zero. Portanto, a primeira condição está satisfeita.

Passo 3

Agora, precisamos mostrar que a integral de de até é igual a 1. Como a função é zero para , podemos simplificar a integral para:
Vamos calcular essa integral.

Passo 4

Vamos integrar em rela��ão a de 0 a :
A integral de é , então:

Passo 5

Agora, vamos avaliar os limites:
  • Quando , .
  • Quando , .
Então:
Portanto, a integral de é igual a 1.

Resposta

Como é sempre maior ou igual a zero e a integral de em todo o domínio é igual a 1, concluímos que é realmente uma função densidade de probabilidade.

Exercícios relacionados

39a) Determine intervalos de confiança, com níveis de confiança de e para o verdadeiro rendimento médio.
Mostre que se e são independentes, então e são independentes. (DICA: Use o item anterior.)
35a) o intervalo de confiança para , com coeficiente de confiança de (interprete o resultado);
Três jornais e são publicados em uma pequena cidade de 10 mil habitantes. Uma recente pesquisa entre os leitores indicou o seguinte: 2000 pessoas leem leem leem leem e leem e leem e , e 200 leem e . Para uma pessoa escolhida ao acaso dessa cidade, calcule a probabilidade de:
12a
ele não leia qualquer dos jornais.