f(x)= 2 e^-2 x, & x >= 0 0, & x<0
18a) Mostre que esta função é uma f.d.p.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a função dada é uma função densidade de probabilidade (f.d.p.). Isso faz parte da matéria de Probabilidade e Estatística. Para provar que uma função é uma f.d.p., precisamos verificar dois pontos principais:
  1. A função é sempre maior ou igual a zero para todo .
  2. A integral de em todo o seu domínio é igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se f(x) = 2 e^-2 x, & x >= 0 0, & x<0 para todo . Olhando para a função:
Para , é sempre positivo, e multiplicando por 2, ainda teremos um valor positivo. Para , , que também é maior ou igual a zero. Portanto, a primeira condição está satisfeita.

Passo 3

Agora, precisamos mostrar que a integral de integral-infty^+infty f(x) dx = integral0^+infty 2 e^-2x dx de até é igual a 1. Como a função é zero para , podemos simplificar a integral para:
Vamos calcular essa integral.

Passo 4

Vamos integrar integral0^+infty 2 e^-2x dx em rela��ão a 2 times [ -12 e^-2x ]0^+infty = - e^-2x |0^+infty de 0 a :
A integral de é , então:

Passo 5

Agora, vamos avaliar os limites:
  • Quando - e^-2x |0^+infty = -(0) - (-1) = 1 , .
  • Quando , .
Então:
Portanto, a integral de é igual a 1.

Resposta

Como é sempre maior ou igual a zero e a integral de em todo o domínio é igual a 1, concluímos que é realmente uma função densidade de probabilidade.

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