Teoria e Exemplos
26. Integrol dependente openos do dires Mostre que o valor de
20 redor de qualquer quadrado depende rpenas da irrea do qurdrado e nīo de sua localização no plano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que o valor da integral de linha
ao redor de qualquer quadrado depende apenas da área desse quadrado e não de onde ele está no plano. Isso está relacionado com o cálculo de integrais de linha em campos vetoriais e, mais especificamente, com o Teorema de Green que conecta integrais de linha a integrais de área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de um caminho fechado . No nosso caso, o campo vetorial é .
Para investigar se o valor da integral depende apenas da área do quadrado, podemos usar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a área limitada por essa curva.

Passo 3

O Teorema de Green nos diz que:
Onde:
  • é a área dentro do quadrado
Vamos calcular as derivadas parciais:
Substituindo no Teorema de Green:

Passo 4

A integral dupla é simplesmente duas vezes a área do quadrado . Ou seja, se é a área do quadrado, então:
Isso mostra que a integral de linha dada depende apenas da área do quadrado e não da posição do quadrado no plano, já que a área é uma propriedade que não muda com a localização.

Resposta

O valor da integral é duas vezes a área do quadrado, ou seja,
onde é a área do quadrado.

Exercícios relacionados

Seja sen . Calcule:
Se para todo e , verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, justifique. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
(a) não existe
(b)
© Se existir é positivo
Teoria e Exemplos
27. Eccerento port oprefider 0 que bis de especial ma integral
Justifique sud resposta.
Teoria e Exemplos
28. Escrevento pors oprender O que hi de especial na ittegral
Justifique sua resposta.