Teoria e Exemplos
26. Integrol dependente openos do dires Mostre que o valor de
20 redor de qualquer quadrado depende rpenas da irrea do qurdrado e nīo de sua localização no plano.
26. Integrol dependente openos do dires Mostre que o valor de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que o valor da integral de linha
ao redor de qualquer quadrado depende apenas da área desse quadrado e não de onde ele está no plano. Isso está relacionado com o cálculo de integrais de linha em campos vetoriais e, mais especificamente, com o Teorema de Green que conecta integrais de linha a integrais de área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de um caminho fechado
. No nosso caso, o campo vetorial é
.
Para investigar se o valor da integral depende apenas da área do quadrado, podemos usar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a área limitada por essa curva.
Passo 3
O Teorema de Green nos diz que:
Onde:
-
-
-
é a área dentro do quadrado
Vamos calcular as derivadas parciais:
Substituindo no Teorema de Green:
Passo 4
A integral dupla
é simplesmente duas vezes a área do quadrado
. Ou seja, se
é a área do quadrado, então:
Isso mostra que a integral de linha dada depende apenas da área do quadrado e não da posição do quadrado no plano, já que a área
é uma propriedade que não muda com a localização.
Resposta
O valor da integral é duas vezes a área do quadrado, ou seja,
onde
é a área do quadrado.