Teoria e Exemplos
26. Integrol dependente openos do dires Mostre que o valor de
ointc x y^2 d x+(x^2 y+2 x) d y
20 redor de qualquer quadrado depende rpenas da irrea do qurdrado e nīo de sua localização no plano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que o valor da integral de linha
ointC x y^2 , dx + (x^2 y + 2 x) , dy
ao redor de qualquer quadrado depende apenas da área desse quadrado e não de onde ele está no plano. Isso está relacionado com o cálculo de integrais de linha em campos vetoriais e, mais especificamente, com o Teorema de Green que conecta integrais de linha a integrais de área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de um caminho fechado . No nosso caso, o campo vetorial é .
Para investigar se o valor da integral depende apenas da área do quadrado, podemos usar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a área limitada por essa curva.

Passo 3

O Teorema de Green nos diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA
Onde:
  • partial Qpartial x = partialpartial x ( x^2 y + 2 x ) = 2 x y + 2
  • partial Ppartial y = partialpartial y ( x y^2 ) = 2 x y
  • ointC x y^2 , dx + (x^2 y + 2 x) , dy = integral duplaD (2 x y + 2 - 2 x y) , dA = integral duplaD 2 , dA é a área dentro do quadrado
Vamos calcular as derivadas parciais:
Substituindo no Teorema de Green:

Passo 4

A integral dupla integral duplaD 2 , dA = 2 A é simplesmente duas vezes a área do quadrado . Ou seja, se é a área do quadrado, então:
Isso mostra que a integral de linha dada depende apenas da área do quadrado e não da posição do quadrado no plano, já que a área é uma propriedade que não muda com a localização.

Resposta

O valor da integral é duas vezes a área do quadrado, ou seja,
ointC x y^2 , dx + (x^2 y + 2 x) , dy = 2 A
onde é a área do quadrado.

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