F(x)= 0, & se x<0 14, & se 0 <= x<1 34, & se 1 <= x<2 1, & se x >= 2
Obter a função de distribuição da função Y=g(X)=3 X+4 pela técnica da função de distribuição.

Passo 1

Então, a gente tem uma função de distribuição acumulada que está dividida em partes dependendo do valor de . A matéria que vamos usar aqui é sobre transformações de variáveis aleatórias. Pra resolver esse exercício, vamos precisar entender como transformar a distribuição de uma variável para uma nova variável , que nesse caso é .

Passo 2

Primeiro, a gente sabe que a função de distribuição acumulada de FY(y) = P(Y <= y) , que é FY(y) = P(3X + 4 <= y) , é igual à probabilidade de ser menor ou igual a . Matemáticamente, isso é:
Como , podemos substituir:

Passo 3

Agora, vamos isolar 3X <= y - 4 na desigualdade. Subtraímos 4 de ambos os lados:
X <= y - 43
E então dividimos por 3:
FY(y) = P(X <= y - 43) = FX(y - 43)
Então, a função de distribuição de fica:

Passo 4

Vamos agora usar a função de distribuição original FX(x)= 0, & se x < 0 14, & se 0 <= x < 1 34, & se 1 <= x < 2 1, & se x >= 2 para encontrar . A função está definida por partes:
Vamos substituir por em cada parte.

Passo 5

Vamos analisar cada intervalo de y - 43 < 0 Rightarrow y - 4 < 0 Rightarrow y < 4 e ver como ele se transforma em termos de FY(y) = 0 :
  1. Se 0 <= y - 43 < 1 Rightarrow 0 <= y - 4 < 3 Rightarrow 4 <= y < 7 :
FY(y) = 14
Então, para 1 <= y - 43 < 2 Rightarrow 3 <= y - 4 < 6 Rightarrow 7 <= y < 10 :
FY(y) = 34
  1. Se y - 43 >= 2 Rightarrow y - 4 >= 6 Rightarrow y >= 10 :
FY(y) = 1
Então, para :
  1. Se :
Então, para :
  1. Se :
Então, para :

Resposta

A função de distribuição de FY(y)= 0, & se y < 4 14, & se 4 <= y < 7 34, & se 7 <= y < 10 1, & se y >= 10 é:

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