Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que você me enviou: temos a função . O que a gente vai fazer aqui envolve cálculo, especificamente a derivada dessa função. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas e a regra da cadeia, que é super útil quando temos funções compostas como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma maneira que facilite a diferenciação. A raiz cúbica pode ser escrita como uma potência fracionária. Então, temos:
Isso vai nos ajudar a aplicar as regras de derivação de potências.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a . Para isso, usamos a regra da cadeia, que basicamente nos diz como derivar funções compostas. A regra da cadeia diz que se , então .
No nosso caso, e . Vamos derivar cada parte separadamente.

Passo 4

Primeiro, derivamos :
Em seguida, derivamos :

Passo 5

Agora, aplicamos a regra da cadeia combinando essas derivadas:

Passo 6

Vamos simplificar um pouco essa expressão. Podemos escrever o denominador como uma raiz cúbica ao quadrado:

Passo 7

Para deixar a forma ainda mais legível, podemos fatorar o numerador:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Seja .
(a) Encontre os intervalos onde é crescente e onde é decrescente.
(b) Encontre os valores máximos e mínimos locais de .
© Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Esboce o gráfico de uma função com todas as características abaixo:
  • para
  • para e
  • para e , para e
  • e