Seja
.
(a) Encontre os intervalos onde
é crescente e onde é decrescente.
(b) Encontre os valores máximos e mínimos locais de
.
© Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(a) Encontre os intervalos onde
(b) Encontre os valores máximos e mínimos locais de
© Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que envolve a função
. Este exercício aborda tópicos de cálculo, especificamente derivadas para analisar o comportamento da função. Para resolver as partes (a), (b) e ©, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivadas da função, interpretar seus sinais e identificar pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
, que nos ajudará a determinar onde a função está aumentando ou diminuindo.
A função é:
Vamos derivar termo a termo:
Podemos simplificar:
Passo 3
Agora, para encontrar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente, precisamos analisar o sinal da primeira derivada
.
Primeiro, igualamos
a zero para encontrar os pontos críticos:
Isso ocorre quando:
Passo 4
Dividimos a linha dos números em intervalos com base nos pontos críticos encontrados:
,
,
, e
.
Vamos testar o sinal de
em cada intervalo:
-
Para
: -
e -
→ função crescente
-
-
Para
: -
e -
→ função decrescente
-
-
Para
: -
e -
→ função decrescente
-
-
Para
: -
e -
→ função crescente
-
Passo 5
Com base na análise dos sinais, podemos concluir:
- Crescente nos intervalos
e - Decrescente nos intervalos
e
Resposta
(a) A função
é crescente nos intervalos
e
, e decrescente nos intervalos
e
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico de uma função
com todas as características abaixo:
-
-
para -
-
para e -
para e , para e -
-
e
Considere
. Determine as seguintes informações sobre
.
© Os intervalos onde é crescente/decresente, máximos/mínimos locais.
© Os intervalos onde é crescente/decresente, máximos/mínimos locais.