Seja .
(a) Encontre os intervalos onde é crescente e onde é decrescente.
(b) Encontre os valores máximos e mínimos locais de .
© Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que envolve a função . Este exercício aborda tópicos de cálculo, especificamente derivadas para analisar o comportamento da função. Para resolver as partes (a), (b) e ©, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivadas da função, interpretar seus sinais e identificar pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de , que nos ajudará a determinar onde a função está aumentando ou diminuindo.
A função é:
Vamos derivar termo a termo:
Podemos simplificar:

Passo 3

Agora, para encontrar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente, precisamos analisar o sinal da primeira derivada .
Primeiro, igualamos a zero para encontrar os pontos críticos:
Isso ocorre quando:

Passo 4

Dividimos a linha dos números em intervalos com base nos pontos críticos encontrados: , , , e .
Vamos testar o sinal de em cada intervalo:
  1. Para :
    • e
    • → função crescente
  2. Para :
    • e
    • → função decrescente
  3. Para :
    • e
    • → função decrescente
  4. Para :
    • e
    • → função crescente

Passo 5

Com base na análise dos sinais, podemos concluir:
  • Crescente nos intervalos e
  • Decrescente nos intervalos e

Resposta

(a) A função é crescente nos intervalos e , e decrescente nos intervalos e .

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico de uma função com todas as características abaixo:
  • para
  • para e
  • para e , para e
  • e
Considere . Determine as seguintes informações sobre .
© Os intervalos onde é crescente/decresente, máximos/mínimos locais.