Esboce o gráfico de uma função
com todas as características abaixo:
-
-
para
-
-
para
e
-
para
e
, para
e
-
-
e
Passo 1
Então, a gente vai desenhar o gráfico de uma função
que tem várias características específicas. O que vamos precisar aqui são conhecimentos de cálculo, como derivadas e limites, para entender o comportamento da função em diferentes pontos. Vamos passo a passo analisar cada uma dessas características para construir o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os valores que a função
assume em pontos específicos:
Isso nos dá três pontos que o gráfico da função deve passar:
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a primeira derivada
, que nos diz se a função está crescendo ou diminuindo:
-
para : A função está crescendo quando é menor que ou maior que . -
: Nos pontos e , a inclinação da função é zero, ou seja, esses são pontos críticos. -
para e : A função está diminuindo entre e , exceto em .
Passo 4
Vamos analisar a segunda derivada
, que nos ajuda a entender a concavidade da função:
-
para : A função é côncava para baixo quando é negativo. -
para e : A função é côncava para cima quando é positivo, exceto em .
Passo 5
Agora, vamos observar os limites da função:
-
: Quando vai para mais infinito, também vai para mais infinito. -
: Quando vai para menos infinito, vai para menos infinito. -
e : Há uma descontinuidade no ponto , com se aproximando de 3 pela esquerda e de 4 pela direita.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos começar a esboçar o gráfico:
- Plote os pontos
, e . - Nos intervalos
e , a função está crescendo. - Entre
e , a função está diminuindo, exceto em onde há uma descontinuidade. - A concavidade muda em
: é côncava para baixo à esquerda e para cima à direita, exceto em . - Adicione as assíntotas horizontais conforme os limites quando
vai para infinito e menos infinito. - Em
, desenhe uma pequena quebra no gráfico, subindo de para .
Resposta
O gráfico da função
apresenta uma curva que passa pelos pontos
,
e
, cresce para
e
, diminui entre
e
com uma descontinuidade em
, apresenta concavidade para baixo à esquerda de
e para cima à direita, e tende a
quando
vai para menos infinito e a
quando
vai para mais infinito.
Exercícios relacionados
Seja
.
(a) Encontre os intervalos onde é crescente e onde é decrescente.
(b) Encontre os valores máximos e mínimos locais de .
© Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(a) Encontre os intervalos onde
(b) Encontre os valores máximos e mínimos locais de
© Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Considere
. Determine as seguintes informações sobre
.
© Os intervalos onde é crescente/decresente, máximos/mínimos locais.
© Os intervalos onde é crescente/decresente, máximos/mínimos locais.
Considere
. Determine as seguintes informações sobre
.
(b) As intersecções com os eixos e
.
(b) As intersecções com os eixos