Esboce o gráfico de uma função com todas as características abaixo:
  • para
  • para e
  • para e , para e
  • e

Passo 1

Então, a gente vai desenhar o gráfico de uma função que tem várias características específicas. O que vamos precisar aqui são conhecimentos de cálculo, como derivadas e limites, para entender o comportamento da função em diferentes pontos. Vamos passo a passo analisar cada uma dessas características para construir o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os valores que a função assume em pontos específicos:
Isso nos dá três pontos que o gráfico da função deve passar: , e .

Passo 3

Agora, vamos analisar a primeira derivada , que nos diz se a função está crescendo ou diminuindo:
  • para : A função está crescendo quando é menor que ou maior que .
  • : Nos pontos e , a inclinação da função é zero, ou seja, esses são pontos críticos.
  • para e : A função está diminuindo entre e , exceto em .

Passo 4

Vamos analisar a segunda derivada , que nos ajuda a entender a concavidade da função:
  • para : A função é côncava para baixo quando é negativo.
  • para e : A função é côncava para cima quando é positivo, exceto em .

Passo 5

Agora, vamos observar os limites da função:
  • : Quando vai para mais infinito, também vai para mais infinito.
  • : Quando vai para menos infinito, vai para menos infinito.
  • e : Há uma descontinuidade no ponto , com se aproximando de 3 pela esquerda e de 4 pela direita.

Passo 6

Com todas essas informações, podemos começar a esboçar o gráfico:
  1. Plote os pontos , e .
  2. Nos intervalos e , a função está crescendo.
  3. Entre e , a função está diminuindo, exceto em onde há uma descontinuidade.
  4. A concavidade muda em : é côncava para baixo à esquerda e para cima à direita, exceto em .
  5. Adicione as assíntotas horizontais conforme os limites quando vai para infinito e menos infinito.
  6. Em , desenhe uma pequena quebra no gráfico, subindo de para .

Resposta

O gráfico da função apresenta uma curva que passa pelos pontos , e , cresce para e , diminui entre e com uma descontinuidade em , apresenta concavidade para baixo à esquerda de e para cima à direita, e tende a quando vai para menos infinito e a quando vai para mais infinito.

Exercícios relacionados

Seja .
(a) Encontre os intervalos onde é crescente e onde é decrescente.
(b) Encontre os valores máximos e mínimos locais de .
© Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Considere . Determine as seguintes informações sobre .
© Os intervalos onde é crescente/decresente, máximos/mínimos locais.
Considere . Determine as seguintes informações sobre .
(b) As intersecções com os eixos e .