Esboce o gráfico de uma função h com todas as características abaixo:
  • h(-2)=8, h(0)=4, h(2)=0
  • h^prime(x)>0 para |x|>2
  • h^prime(2)=h^prime(-2)=0
  • h^prime(x)<0 para |x|<2 e x neq 1
  • h^prime prime(x)<0 para x<0 e h^prime prime(x)>0, para x>0 e x neq 1
  • lim x infty h(x)=infty e lim x -infty h(x)=-infty
  • lim x 1^- h(x)=3 e lim x 1^+ h(x)=4

Passo 1

Então, a gente vai desenhar o gráfico de uma função h que tem várias características específicas. O que vamos precisar aqui são conhecimentos de cálculo, como derivadas e limites, para entender o comportamento da função em diferentes pontos. Vamos passo a passo analisar cada uma dessas características para construir o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os valores que a função h assume em pontos específicos:
  • h(-2) = 8
  • h(0) = 4
  • h(2) = 0
Isso nos dá três pontos que o gráfico da função deve passar: (-2, 8), (0, 4) e (2, 0).

Passo 3

Agora, vamos analisar a primeira derivada h'(x), que nos diz se a função está crescendo ou diminuindo:
  • h'(x) > 0 para |x| > 2: A função está crescendo quando x é menor que -2 ou maior que 2.
  • h'(2) = h'(-2) = 0: Nos pontos x = -2 e x = 2, a inclinação da função é zero, ou seja, esses são pontos críticos.
  • h'(x) < 0 para |x| < 2 e x neq 1: A função está diminuindo entre -2 e 2, exceto em x = 1.

Passo 4

Vamos analisar a segunda derivada h''(x), que nos ajuda a entender a concavidade da função:
  • h''(x) < 0 para x < 0: A função é côncava para baixo quando x é negativo.
  • h''(x) > 0 para x > 0 e x neq 1: A função é côncava para cima quando x é positivo, exceto em x = 1.

Passo 5

Agora, vamos observar os limites da função:
  • lim x infty h(x) = infty: Quando x vai para mais infinito, h(x) também vai para mais infinito.
  • lim x -infty h(x) = -infty: Quando x vai para menos infinito, h(x) vai para menos infinito.
  • lim x 1^- h(x) = 3 e lim x 1^+ h(x) = 4: Há uma descontinuidade no ponto x = 1, com h(x) se aproximando de 3 pela esquerda e de 4 pela direita.

Passo 6

Com todas essas informações, podemos começar a esboçar o gráfico:
  1. Plote os pontos (-2, 8), (0, 4) e (2, 0).
  2. Nos intervalos x < -2 e x > 2, a função está crescendo.
  3. Entre -2 e 2, a função está diminuindo, exceto em x = 1 onde há uma descontinuidade.
  4. A concavidade muda em x = 0: é côncava para baixo à esquerda e para cima à direita, exceto em x = 1.
  5. Adicione as assíntotas horizontais conforme os limites quando x vai para infinito e menos infinito.
  6. Em x = 1, desenhe uma pequena quebra no gráfico, subindo de 3 para 4.

Resposta

O gráfico da função h apresenta uma curva que passa pelos pontos (-2, 8), (0, 4) e (2, 0), cresce para x < -2 e x > 2, diminui entre -2 e 2 com uma descontinuidade em x = 1, apresenta concavidade para baixo à esquerda de 0 e para cima à direita, e tende a -infty quando x vai para menos infinito e a infty quando x vai para mais infinito.

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