Se f(x)=raizx e g(x)=raiz5-x, encontre cada uma das funções e seus domínios: g circ g.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções: e . O que a gente precisa fazer é encontrar a função composta , ou seja, , e determinar os domínios de cada função envolvida. Vamos usar conceitos de funções compostas e domínios para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que a gente vai aplicar a função duas vezes. Então, significa que a gente vai pegar o resultado de e usar esse resultado como entrada de outra função .

Passo 3

Vamos escrever a expressão de g(g(x)) = raiz5 - g(x) = raiz5 - raiz5 - x . Sabemos que , então substituindo dentro de :

Passo 4

Agora, precisamos determinar o domínio da função composta . O domínio é o conjunto de valores de para os quais a função está definida, ou seja, onde as expressões dentro das raízes quadradas são não negativas, já que não podemos tirar raiz de número negativo.

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar o domínio de 5 - x >= 0 implies x <= 5 :
Então, está definida para todos os que são menores ou iguais a 5.

Passo 6

Agora, para 5 - raiz5 - x >= 0 , a expressão dentro da segunda raiz também precisa ser não negativa:
raiz5 - x <= 5
Isso implica que:
Como a raiz quadrada sempre é não negativa, essa desigualdade sempre será verdadeira para .

Passo 7

Além disso, a expressão dentro de precisa estar definida, ou seja, , o que já consideramos. Portanto, o domínio de é o mesmo que o domínio de , que é .

Resposta

A função composta é e seu domínio é todos os números reais tais que .

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