Passo 1

Então, a gente tem a função . O objetivo aqui é entender como essa função se comporta, como encontrar seus máximos e mínimos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para identificar os pontos onde a função atinge seus valores máximos e mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que para encontrar os pontos de máximo e mínimo de uma função, a gente precisa encontrar onde a derivada da função é igual a zero. A derivada nos dá a taxa de variação da função, então onde ela é zero, a função não está aumentando nem diminuindo, podendo ser um ponto de máximo ou mínimo.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada da função . Para isso, vamos derivar cada termo separadamente.
A derivada de usando a regra da cadeia é:
A derivada de é:
Então, a derivada total é:

Passo 4

Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Podemos fatorar :
Isso nos dá duas equações:

Passo 5

Resolvendo :
Os valores de onde são:
Resolvendo :
Os valores de onde são:

Passo 6

Agora, vamos verificar quais desses pontos são realmente pontos de máximo ou mínimo. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada.
Primeiro, encontramos a segunda derivada de :
Derivando novamente:

Passo 7

Vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos e .
Para :
Sabemos que e :
Dependendo do valor de , a segunda derivada pode ser positiva ou negativa, indicando mínimo ou máximo.
Para :
Neste caso, o teste da segunda derivada é inconclusivo, então precisaríamos de outros métodos para determinar a natureza do ponto.

Passo 8

Como a segunda derivada em é zero, vamos verificar o comportamento da derivada primeira ao redor desses pontos para determinar se são máximos ou mínimos.
Por exemplo, escolhendo , temos :
  • Para ligeiramente menor que 0, .
  • Para ligeiramente maior que 0, .
Isso indica que é um ponto de máximo.

Resposta

Com base nos cálculos, a função possui pontos de máximo nos valores , onde é inteiro. Já os pontos podem ser máximos ou mínimos dependendo do valor de .

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