Passo 1
Então, a gente tem a função
. O objetivo aqui é entender como essa função se comporta, como encontrar seus máximos e mínimos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para identificar os pontos onde a função atinge seus valores máximos e mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que para encontrar os pontos de máximo e mínimo de uma função, a gente precisa encontrar onde a derivada da função é igual a zero. A derivada nos dá a taxa de variação da função, então onde ela é zero, a função não está aumentando nem diminuindo, podendo ser um ponto de máximo ou mínimo.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada da função
. Para isso, vamos derivar cada termo separadamente.
A derivada de
usando a regra da cadeia é:
A derivada de
é:
Então, a derivada total
é:
Passo 4
Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Podemos fatorar
:
Isso nos dá duas equações:
Passo 5
Resolvendo
:
Os valores de
onde
são:
Resolvendo
:
Os valores de
onde
são:
Passo 6
Agora, vamos verificar quais desses pontos são realmente pontos de máximo ou mínimo. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada.
Primeiro, encontramos a segunda derivada de
:
Derivando novamente:
Passo 7
Vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos
e
.
Para
:
Sabemos que
e
:
Dependendo do valor de
, a segunda derivada pode ser positiva ou negativa, indicando mínimo ou máximo.
Para
:
Neste caso, o teste da segunda derivada é inconclusivo, então precisaríamos de outros métodos para determinar a natureza do ponto.
Passo 8
Como a segunda derivada em
é zero, vamos verificar o comportamento da derivada primeira ao redor desses pontos para determinar se são máximos ou mínimos.
Por exemplo, escolhendo
, temos
:
- Para
ligeiramente menor que 0, . - Para
ligeiramente maior que 0, .
Isso indica que
é um ponto de máximo.
Resposta
Com base nos cálculos, a função
possui pontos de máximo nos valores
, onde
é inteiro. Já os pontos
podem ser máximos ou mínimos dependendo do valor de
.