Passo 1
Resumo do enunciado: Temos a função
. Vamos analisar essa função usando conceitos de funções racionais, como domínio, assíntotas, derivadas e pontos críticos para entender seu comportamento.
Passo 2
Simplificando a função: Podemos fatorar o numerador para facilitar a análise.
Isso nos ajuda a ver melhor os componentes da função.
Passo 3
Encontrando o domínio: O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Aqui, o denominador não pode ser zero.
Então, o domínio de
é todos os números reais exceto
.
Passo 4
Identificando assíntotas verticais: Assíntotas verticais ocorrem onde a função não está definida devido ao denominador zero.
Portanto, há uma assíntota vertical em
.
Passo 5
Encontrando assíntotas horizontais: Observamos o comportamento da função quando
tende a infinito ou menos infinito.
Assim, há uma assíntota horizontal em
.
Passo 6
Calculando a derivada de
: A derivada nos ajuda a encontrar pontos de máximo, mínimo e intervalos de crescimento ou decrescimento.
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 7
Encontrando pontos críticos: Pontos onde a derivada é zero ou não existe podem indicar máximos ou mínimos.
Resolvendo a equação quadrática:
Como a raiz é negativa, não há pontos críticos reais. Isso significa que a função não tem máximos ou mínimos locais.
Passo 8
Analisando intervalos de crescimento e decrescimento: Como não há pontos críticos reais, a função não muda sua tendência de crescimento ou decrescimento com base na derivada.
Passo 9
Desenhando o gráfico: Com todas as informações obtidas, podemos esboçar o gráfico da função:
- Domínio:
- Assíntota vertical:
- Assíntota horizontal:
- Comportamento: A função se aproxima das assíntotas conforme
tende ao infinito ou menos infinito.
Resposta
A função
possui uma assíntota vertical em
, uma assíntota horizontal em
, não possui pontos críticos reais e está definida para todos os valores de
exceto
.