Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a função . Vamos analisar essa função usando conceitos de funções racionais, como domínio, assíntotas, derivadas e pontos críticos para entender seu comportamento.

Passo 2

Simplificando a função: Podemos fatorar o numerador para facilitar a análise.
Isso nos ajuda a ver melhor os componentes da função.

Passo 3

Encontrando o domínio: O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Aqui, o denominador não pode ser zero.
Então, o domínio de é todos os números reais exceto .

Passo 4

Identificando assíntotas verticais: Assíntotas verticais ocorrem onde a função não está definida devido ao denominador zero.
Portanto, há uma assíntota vertical em .

Passo 5

Encontrando assíntotas horizontais: Observamos o comportamento da função quando tende a infinito ou menos infinito.
Assim, há uma assíntota horizontal em .

Passo 6

Calculando a derivada de : A derivada nos ajuda a encontrar pontos de máximo, mínimo e intervalos de crescimento ou decrescimento.
Usando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 7

Encontrando pontos críticos: Pontos onde a derivada é zero ou não existe podem indicar máximos ou mínimos.
Resolvendo a equação quadrática:
Como a raiz é negativa, não há pontos críticos reais. Isso significa que a função não tem máximos ou mínimos locais.

Passo 8

Analisando intervalos de crescimento e decrescimento: Como não há pontos críticos reais, a função não muda sua tendência de crescimento ou decrescimento com base na derivada.

Passo 9

Desenhando o gráfico: Com todas as informações obtidas, podemos esboçar o gráfico da função:
  • Domínio:
  • Assíntota vertical:
  • Assíntota horizontal:
  • Comportamento: A função se aproxima das assíntotas conforme tende ao infinito ou menos infinito.

Resposta

A função possui uma assíntota vertical em , uma assíntota horizontal em , não possui pontos críticos reais e está definida para todos os valores de exceto .

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