lim x 0^+ x^x^2

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um limite onde queremos descobrir o valor de quando se aproxima de 0 por valores positivos. Esse tipo de problema está relacionado a funções exponenciais e limites. Para resolver isso, vamos precisar usar logaritmos e propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, para facilitar o cálculo desse limite, vamos aplicar o logaritmo natural. Vamos chamar o limite que queremos encontrar de L = limx 0^+ x^x^2 :
ln L = ln ( limx 0^+ x^x^2 ) = limx 0^+ ln ( x^x^2 )
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos que diz ln L = limx 0^+ x^2 ln(x) , temos:
Agora, precisamos calcular esse novo limite: .

Passo 4

Observando limx 0^+ ln(x)1x^2 , vemos que quando se aproxima de 0, vai para 0 e vai para . Temos uma forma indeterminada do tipo . Para resolver, vamos reescrever o limite como:
Agora, temos uma forma , que ainda é indeterminada, então vamos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 5

Aplicando a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente:
limx 0^+ ddx ln(x)ddx ( 1x^2 ) = limx 0^+ 1x-2x^3 = limx 0^+ -x^22 = 0
Então, .

Resposta

Como limx 0^+ x^x^2 = 1 , temos que . Portanto,

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