Passo 1

Beleza, a questão nos dá a função . Vamos precisar usar cálculo diferencial, mais especificamente, as regras de derivação de funções que são produtos e potências de polinômios.

Passo 2

Para achar a derivada dessa função, vamos aplicar a Regra do Produto. Essa regra diz que a derivada de duas funções multiplicadas é igual à derivada da primeira função vezes a segunda função mais a primeira função vezes a derivada da segunda função.

Passo 3

Primeiro, vamos derivar . Usamos a Regra da Cadeia aqui, que nos ajuda a derivar funções compostas. A regra diz que , onde .
Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar usando também a Regra da Cadeia. Aqui, e .
Então:

Passo 5

Aplicando a Regra do Produto, juntamos as duas derivadas que achamos:

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão. Podemos fatorar e para deixar mais claro:

Passo 7

Agora, simplificamos o que está dentro dos colchetes:

Passo 8

Finalmente, substituímos de volta na expressão:

Resposta

A derivada da função é:

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Se , mostre que
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