f(x) = { x + 1 se x <= 1, 1/x se 1 < x < 3, raiz(x - 3) se x >= 3 }.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou uma função definida por partes:
Vamos estudar essa função. Para isso, precisamos entender funções por partes, continuidade e limites. Vamos resolver isso passo a passo para ficar bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as diferentes partes da função e os intervalos em que cada uma se aplica:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
Cada parte da função tem uma regra diferente, dependendo do valor de .

Passo 3

Agora, vamos verificar a continuidade da função em cada ponto de transição, ou seja, em e .
Continuidade significa que não há “saltos” ou “buracos” no gráfico da função. Para que seja contínua em um ponto, os seguintes três critérios devem ser atendidos:
  1. está definida.
  2. e existem.
Vamos aplicar isso para e .

Passo 4

Verificando a continuidade em :
  1. Valor da função em :
  2. Limite pela esquerda ( ):
  3. Limite pela direita ( ):
  4. Comparando os limites e o valor da função:
Como os limites laterais não são iguais, a função não é contínua em .

Passo 5

Verificando a continuidade em :
  1. Valor da função em :
  2. Limite pela esquerda ( ):
  3. Limite pela direita ( ):
  4. Comparando os limites e o valor da função:
Novamente, os limites laterais não são iguais, então a função não é contínua em .

Passo 6

Resumindo o que encontramos:
  • A função é contínua em todos os pontos, exceto em e , onde há descontinuidades.

Resposta

A função apresenta descontinuidades em e , sendo contínua em todos os outros pontos.

Exercícios relacionados

f(x) = { x^2 se x < 1, raiz(x) se x ≥ 1 }.
(a) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. (b) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal.
f(x) = llv(sen x), a = pi.
Para que valores de x a função f é contínua?
f(x) = 0 se x é racional, 1 se x é irracionaléé