Vamos entender o que o exercício está perguntando. Precisamos descobrir para quais valores de a função é contínua. A função está definida da seguinte forma:
Aqui, estamos lidando com o conceito de continuidade de funções. Para resolver isso, vamos analisar os limites da função quando se aproxima de um ponto qualquer e verificar se esse limite é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade em um ponto. Uma função é contínua em se:
Isso significa que o limite da função quando se aproxima de deve ser igual ao valor da função em .
Passo 3
Vamos analisar o comportamento da função em qualquer ponto . Independente de ser racional ou irracional, sempre podemos encontrar números racionais e irracionais que se aproximam de .
Se for racional, .
Se for irracional, .
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de :
Como existem tanto números racionais (com ) quanto irracionais (com ) próximos de , o limite não existe porque a função está “saltando” entre 0 e 1 sem se estabilizar em nenhum valor específico.
Passo 5
Como o limite de quando se aproxima de não existe, ele não pode ser igual ao valor de . Portanto, a função não é contínua em nenhum ponto .
Resposta
A função não é contínua para nenhum valor de real.