Para que valores de
a função
é contínua?
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está perguntando. Precisamos descobrir para quais valores de
a função
é contínua. A função está definida da seguinte forma:
Aqui, estamos lidando com o conceito de continuidade de funções. Para resolver isso, vamos analisar os limites da função quando
se aproxima de um ponto qualquer e verificar se esse limite é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade em um ponto. Uma função
é contínua em
se:
Isso significa que o limite da função quando
se aproxima de
deve ser igual ao valor da função em
.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento da função
em qualquer ponto
. Independente de
ser racional ou irracional, sempre podemos encontrar números racionais e irracionais que se aproximam de
.
- Se
for racional, . - Se
for irracional, .
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
:
Como existem tanto números racionais (com
) quanto irracionais (com
) próximos de
, o limite não existe porque a função está “saltando” entre 0 e 1 sem se estabilizar em nenhum valor específico.
Passo 5
Como o limite de
quando
se aproxima de
não existe, ele não pode ser igual ao valor de
. Portanto, a função
não é contínua em nenhum ponto
.
Resposta
A função
não é contínua para nenhum valor de
real.