Para que valores de x a função f é contínua?
f(x) = 0 se x é racional, 1 se x é irracionaléé

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está perguntando. Precisamos descobrir para quais valores de a função é contínua. A função está definida da seguinte forma:
éé
Aqui, estamos lidando com o conceito de continuidade de funções. Para resolver isso, vamos analisar os limites da função quando se aproxima de um ponto qualquer e verificar se esse limite é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade em um ponto. Uma função é contínua em se:
Isso significa que o limite da função quando se aproxima de deve ser igual ao valor da função em .

Passo 3

Vamos analisar o comportamento da função em qualquer ponto . Independente de ser racional ou irracional, sempre podemos encontrar números racionais e irracionais que se aproximam de .
  • Se for racional, .
  • Se for irracional, .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de :
Como existem tanto números racionais (com ) quanto irracionais (com ) próximos de , o limite não existe porque a função está “saltando” entre 0 e 1 sem se estabilizar em nenhum valor específico.

Passo 5

Como o limite de quando se aproxima de não existe, ele não pode ser igual ao valor de . Portanto, a função não é contínua em nenhum ponto .

Resposta

A função não é contínua para nenhum valor de real.

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