f(x) = x / (1 + x^2), x0 = 1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão nos pede! Temos a função e um ponto específico . A matéria envolvida aqui é cálculo, mais especificamente derivadas. Vamos precisar saber como calcular a derivada de uma função e avaliar essa derivada em para encontrar a taxa de variação da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a derivada de uma função que é uma fração, ou seja, uma função racional. Quando temos uma função da forma , usamos a regra do quociente para derivar. A regra do quociente diz que:
No nosso caso, e . Vamos encontrar as derivadas de e .

Passo 3

Calculando :
Calculando :

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do quociente substituindo , , e na fórmula:
Simplificando o numerador:
Então,

Passo 5

Agora que temos a expressão para , vamos avaliar essa derivada no ponto :

Resposta

A derivada da função no ponto é .

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