Nos exercícios 18. a 21. use o gráfico da função para determinar os valores de
em que a função é diferenciável e indique os valores de
em que a derivada é (i) nula (ii) positiva (iii) negativa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o gráfico de uma função para descobrir onde essa função é diferenciável e também indicar onde a derivada dela é (i) nula, (ii) positiva e (iii) negativa. Isso tudo faz parte do estudo de cálculo, mais especificamente de derivadas e análise de gráficos de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e como interpretar o gráfico para encontrar essas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Uma função é diferenciável em um ponto se ela tem uma derivada definida nesse ponto, ou seja, se existe uma tangente que toca o gráfico da função de forma suave naquele ponto, sem que haja cantos ou descontinuidades.
Passo 3
Agora, para determinar onde a função é diferenciável olhando o gráfico, devemos observar se o gráfico tem alguma espécie de “quebra”, canto ou ponto pontiagudo. Se o gráfico é suave e contínuo em todo o domínio considerado, então a função é diferenciável em todos esses pontos. Caso contrário, nos pontos onde há ruptura ou cantos, a função não é diferenciável.
Passo 4
Em seguida, vamos identificar onde a derivada da função é nula. A derivada representa a inclinação da tangente ao gráfico da função. Quando a derivada é zero, a tangente é horizontal. Portanto, os pontos onde a derivada é nula correspondem aos pontos de máximo, mínimo ou pontos de inflexão no gráfico da função.
Passo 5
Para encontrar onde a derivada é positiva, devemos olhar para as partes do gráfico onde a função está crescente, ou seja, onde as coordenadas y aumentam conforme x aumenta. Nessas regiões, a inclinação da tangente é positiva, indicando que a derivada também é positiva.
Passo 6
Analogamente, para determinar onde a derivada é negativa, observamos as partes do gráfico onde a função está decrescente, ou seja, onde as coordenadas y diminuem conforme x aumenta. Nesses trechos, a inclinação da tangente é negativa, indicando que a derivada é negativa.
Resposta
Resumindo, para resolver o exercício:
- Diferenciabilidade: Observe o gráfico e identifique se há pontos de descontinuidade ou cantos. A função é diferenciável em todos os pontos onde o gráfico é suave e contínuo.
- Derivada Nula: Identifique os pontos onde a tangente ao gráfico é horizontal. Esses pontos correspondem onde a derivada é zero.
- Derivada Positiva: Observe as regiões onde o gráfico está subindo. Nessas áreas, a derivada é positiva.
- Derivada Negativa: Veja as áreas onde o gráfico está descendo. Nessas regiões, a derivada é negativa.
Aplicando essas etapas no gráfico fornecido no exercício, você poderá determinar os valores de
de acordo com cada caso solicitado.
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Quantas retas tangentes ao gráfico de
são paralelas à reta
? Determine as equações dessas tangentes.
Seja
tal que
. Mostre que
é diferenciável em
.