é diferenciável em é contínua em ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Precisamos verificar se essa função é contínua e diferenciável em . Para isso, vamos precisar dos conceitos de continuidade e diferenciabilidade de funções, além de saber calcular limites laterais e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a continuidade de em . Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto pela esquerda é igual ao limite pela direita e ambos são iguais ao valor da função nesse ponto.

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ):

Passo 4

Agora, calculamos o limite de quando se aproxima de 1 pela direita ( ):

Passo 5

O valor da função em é:

Passo 6

Comparando os limites:
Como os limites laterais são diferentes ( ), a função não é contínua em .

Passo 7

Como a função não é contínua em , ela também não pode ser diferenciável nesse ponto. Para uma função ser diferenciável em um ponto, ela primeiro precisa ser contínua nesse ponto.

Resposta

A função não é contínua em e, consequentemente, não é diferenciável em .

Exercícios relacionados

Derive cada função dos exercícios 8 a 16 .
Seja é diferenciável em ? é contínua em ?
Considere a .
do ponto e também no ponto .