Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Precisamos verificar se essa função é contínua e diferenciável em . Para isso, vamos precisar dos conceitos de continuidade e diferenciabilidade de funções, além de saber calcular limites laterais e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a continuidade de em . Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto pela esquerda é igual ao limite pela direita e ambos são iguais ao valor da função nesse ponto.
Passo 3
Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda ():
Passo 4
Agora, calculamos o limite de quando se aproxima de 1 pela direita ():
Passo 5
O valor da função em é:
Passo 6
Comparando os limites:
Como os limites laterais são diferentes (), a função não é contínua em .
Passo 7
Como a função não é contínua em , ela também não pode ser diferenciável nesse ponto. Para uma função ser diferenciável em um ponto, ela primeiro precisa ser contínua nesse ponto.
Resposta
A função não é contínua em e, consequentemente, não é diferenciável em .