Seja é diferenciável em ? é contínua em ?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida por partes:
A pergunta é: essa função é diferenciável em ? E ela é contínua em ? Para responder isso, vamos precisar saber sobre continuidade e diferenciabilidade de funções em pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em . Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto pela esquerda é igual ao limite pela direita e também igual ao valor da função nesse ponto.
Vamos calcular:
  1. Limite pela esquerda ( ):
  2. Limite pela direita ( ):
  3. Valor da função em :

Passo 3

Agora, vamos comparar os limites e o valor da função:
Para a função ser contínua em , todos esses valores precisam ser iguais. Mas aqui vemos que o limite pela esquerda é 2, enquanto o limite pela direita e o valor da função são 1. Como 2 é diferente de 1, a função não é contínua em .

Passo 4

Já que a função não é contínua em , automaticamente ela não pode ser diferenciável nesse ponto. Isso porque, para uma função ser diferenciável em um ponto, ela primeiro precisa ser contínua nesse ponto.

Resposta

A função não é diferenciável em e não é contínua em .

Exercícios relacionados

Derive cada função dos exercícios 8 a 16 .
é diferenciável em é contínua em ?