Seja
é diferenciável em
?
é contínua em
?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida por partes:
A pergunta é: essa função
é diferenciável em
? E ela é contínua em
? Para responder isso, vamos precisar saber sobre continuidade e diferenciabilidade de funções em pontos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em
. Uma função é contínua em um ponto se o limite quando
se aproxima desse ponto pela esquerda é igual ao limite pela direita e também igual ao valor da função nesse ponto.
Vamos calcular:
-
Limite pela esquerda (
): -
Limite pela direita (
): -
Valor da função em
:
Passo 3
Agora, vamos comparar os limites e o valor da função:
Para a função ser contínua em
, todos esses valores precisam ser iguais. Mas aqui vemos que o limite pela esquerda é 2, enquanto o limite pela direita e o valor da função são 1. Como 2 é diferente de 1, a função não é contínua em
.
Passo 4
Já que a função não é contínua em
, automaticamente ela não pode ser diferenciável nesse ponto. Isso porque, para uma função ser diferenciável em um ponto, ela primeiro precisa ser contínua nesse ponto.
Resposta
A função
não é diferenciável em
e não é contínua em
.
Exercícios relacionados
Derive cada função dos exercícios 8 a 16 .