e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a derivada da função . A matéria que vamos usar aqui é cálculo, especificamente a regra da derivada para funções que são quocientes. Vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e aplicar a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem a e na regra do quociente. Aqui, temos:
A regra do quociente diz que a derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos derivar e :
Para :
Para :

Passo 4

Substituindo , , e na fórmula da derivada:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
Então, o numerador fica:

Passo 6

Observando o que sobrará no numerador e considerando o denominador , a expressão fica complicada. Mas percebendo que precisamos chegar na expressão mais simples dada no enunciado, vamos reconsiderar nossa abordagem.
Na verdade, há uma forma mais rápida de derivar essa função usando identidades hiperbólicas. Sabemos que:
E a derivada de é . Então,

Resposta

A derivada de é:

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o)
i)
j)
a)