Dica: Primeiro defina a imagem do vetor aleatório, depois encontre o valor de
e por último faça o que se pede.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função conjunta de duas variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $, dada por:
Aqui, $ I_{(0,1)}(x) $ e $ I_{(0,1)}(y) $ são funções indicadoras que valem 1 quando $ x $ e $ y $ estão entre 0 e 1, respectivamente, e 0 caso contrário. O que precisamos fazer é:
- Definir a imagem do vetor aleatório $ (X, Y) $, ou seja, identificar os valores que $ X $ e $ Y $ podem assumir.
- Encontrar o valor da constante $ c $ que faz $ f_{X, Y}(x, y) $ ser uma função de densidade válida.
- Executar o que a questão pedir após isso.
Para isso, vamos precisar lembrar que para uma função ser uma densidade conjunta válida, a integral dela sobre todo o espaço deve ser igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a imagem do vetor aleatório $ (X, Y) $. Como as funções indicadoras $ I_{(0,1)}(x) $ e $ I_{(0,1)}(y) $ limitam $ x $ e $ y $ ao intervalo de 0 a 1, isso significa que $ X $ e $ Y $ só podem assumir valores entre 0 e 1. Então, a imagem do vetor $ (X, Y) $ é o quadrado unitário no plano $ xy $:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o valor de $ c $. Para que $ f_{X, Y}(x, y) $ seja uma função de densidade válida, a integral dupla dela sobre toda a imagem deve ser igual a 1. Ou seja:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 4
Primeiro, integramos em relação a $ y $:
Passo 5
Em seguida, integramos o resultado em relação a $ x $:
Passo 6
Sabemos que a integral total deve ser igual a 1:
Resposta
O valor da constante $ c $ que torna $ f_{X, Y}(x, y) $ uma densidade conjunta válida é $ c = 2 $.