(a) Encontre a função de densidade conjunta do vetor aleatório
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos apresenta uma função $ F(x, y) $ que é a função de distribuição acumulada conjunta de dois vetores aleatórios $ X $ e $ Y $. Nosso objetivo aqui é encontrar a função de densidade conjunta $ f(x, y) $ desses vetores. Para isso, vamos precisar entender como as funções de distribuição acumulada e de densidade estão relacionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função de densidade conjunta $ f(x, y) $ pode ser obtida a partir da função de distribuição acumulada $ F(x, y) $ tomando as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $. Matemáticamente, isso é representado por:
Isso significa que vamos derivar a função $ F(x, y) $ primeiro em relação a $ x $ e depois em relação a $ y $, ou vice-versa.
Passo 3
Vamos começar derivando $ F(x, y) $ em relação a $ x $. A função dada é:
Derivando termo a termo em relação a $ x $:
- A derivada de $ 1 $ em relação a $ x $ é $ 0 $.
- A derivada de $ -e^{-2 y} $ em relação a $ x $ é $ 0 $ porque não há $ x $ nesse termo.
- A derivada de $ -e^{-x} $ em relação a $ x $ é $ e^{-x} $.
- A derivada de $ e^{-(x + 2 y)} $ em relação a $ x $ é $ -e^{-(x + 2 y)} $.
Então, a primeira derivada é:
Passo 4
Agora, vamos derivar o resultado que obtivemos em relação a $ y $ para encontrar a função de densidade conjunta $ f(x, y) $. Derivando cada termo em relação a $ y $:
- A derivada de $ e^{-x} $ em relação a $ y $ é $ 0 $ porque não há $ y $ nesse termo.
- A derivada de $ -e^{-(x + 2 y)} $ em relação a $ y $ é $ 2 e^{-(x + 2 y)} $ (usando a regra da cadeia).
Portanto, a segunda derivada é:
Resposta
A função de densidade conjunta é: