F(x, y)=(1-e^-2 y-e^-x+e^-(x+2 y)), x>0, y>0
(a) Encontre a função de densidade conjunta do vetor aleatório (X, Y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos apresenta uma função $ F(x, y) $ que é a função de distribuição acumulada conjunta de dois vetores aleatórios $ X $ e $ Y $. Nosso objetivo aqui é encontrar a função de densidade conjunta $ f(x, y) $ desses vetores. Para isso, vamos precisar entender como as funções de distribuição acumulada e de densidade estão relacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de densidade conjunta $ f(x, y) $ pode ser obtida a partir da função de distribuição acumulada $ F(x, y) $ tomando as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $. Matemáticamente, isso é representado por:
f(x, y)
Isso significa que vamos derivar a função $ F(x, y) $ primeiro em relação a $ x $ e depois em relação a $ y $, ou vice-versa.

Passo 3

Vamos começar derivando $ F(x, y) $ em relação a $ x $. A função dada é:
F(x, y)
Derivando termo a termo em relação a $ x $:
  • A derivada de $ 1 $ em relação a $ x $ é $ 0 $.
  • A derivada de $ -e^{-2 y} $ em relação a $ x $ é $ 0 $ porque não há $ x $ nesse termo.
  • A derivada de $ -e^{-x} $ em relação a $ x $ é $ e^{-x} $.
  • A derivada de $ e^{-(x + 2 y)} $ em relação a $ x $ é $ -e^{-(x + 2 y)} $.
Então, a primeira derivada é:
x

Passo 4

Agora, vamos derivar o resultado que obtivemos em relação a $ y $ para encontrar a função de densidade conjunta $ f(x, y) $. Derivando cada termo em relação a $ y $:
  • A derivada de $ e^{-x} $ em relação a $ y $ é $ 0 $ porque não há $ y $ nesse termo.
  • A derivada de $ -e^{-(x + 2 y)} $ em relação a $ y $ é $ 2 e^{-(x + 2 y)} $ (usando a regra da cadeia).
Portanto, a segunda derivada é:
y

Resposta

A função de densidade conjunta é:
f(x, y) = 2 e^-(x + 2 y), x > 0, y > 0

Exercícios relacionados