Seja (X, Y) um vetor aleatório contínuo com função de densidade conjunta definida por:
f(x, y)=12 e^-x+2, x>2, 1 <= y <= 3
(b) Encontre as funções de distribuições marginais das variáveis aleatórias X e Y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é um vetor aleatório contínuo (X, Y) com uma função de densidade conjunta f(x, y). A tarefa é encontrar as funções de distribuição marginais das variáveis aleatórias X e Y.
Conteúdo da Matéria:
Estamos lidando com distribuições de probabilidade conjunta e marginais. Para encontrar a distribuição marginal de uma variável, precisamos “esquecer” a outra, ou seja, integrar a função de densidade conjunta em relação à outra variável.
O que vamos precisar:
  • Entender como calcular distribuições marginais através de integrais.
  • Saber identificar os limites de integração com base nas condições dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função de distribuição marginal de X, que chamaremos de fX(x). Para isso, precisamos integrar a função de densidade conjunta f(x, y) em relação a y, já que queremos “eliminar” Y.
A fórmula para a distribuição marginal de X é:
fX(x) = integralymín^ymáx f(x, y) , dy áí

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula. Sabemos que 1 <= y <= 3, então os limites de integração são de 1 a 3. A função de densidade conjunta é f(x, y) = 12 e^-x +2.
Então:
fX(x) = integral1^3 12 e^-x +2 , dy

Passo 4

Como 12 e^-x +2 não depende de y, podemos tirar isso da integral:
fX(x) = 12 e^-x +2 integral1^3 , dy

Passo 5

Agora, calculamos a integral integral1^3 , dy, que é simplesmente a diferença entre os limites:
integral1^3 , dy = 3 - 1 = 2

Passo 6

Substituímos o resultado da integral de volta na expressão para fX(x):
fX(x) = 12 e^-x +2 times 2 = e^-x +2

Passo 7

Agora, vamos encontrar a função de distribuição marginal de Y, que chamaremos de fY(y). Para isso, precisamos integrar a função de densidade conjunta f(x, y) em relação a x, já que queremos “eliminar” X.
A fórmula para a distribuição marginal de Y é:
fY(y) = integralxmín^xmáx f(x, y) , dx áí

Passo 8

Vamos substituir os valores na fórmula. Sabemos que x > 2, então os limites de integração são de 2 a infty. A função de densidade conjunta é f(x, y) = 12 e^-x +2.
Então:
fY(y) = integral2^infty 12 e^-x +2 , dx

Passo 9

Vamos simplificar a expressão. Podemos tirar a constante 12 e^2 da integral:
fY(y) = 12 e^2 integral2^infty e^-x , dx

Passo 10

Calculamos a integral integral2^infty e^-x , dx. A integral de e^-x é -e^-x, então:
integral2^infty e^-x , dx = [ -e^-x ]2^infty = 0 - (-e^-2) = e^-2

Passo 11

Substituímos o resultado da integral de volta na expressão para fY(y):
fY(y) = 12 e^2 times e^-2 = 12

Resposta

As funções de distribuição marginais são:
fX(x) = e^-x +2, x > 2
e
fY(y) = 12, 1 <= y <= 3

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