Seja
um vetor aleatório contínuo com função de densidade conjunta definida por:
(b) Encontre as funções de distribuições marginais das variáveis aleatórias
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é um vetor aleatório contínuo
com uma função de densidade conjunta
. A tarefa é encontrar as funções de distribuição marginais das variáveis aleatórias
e
.
Conteúdo da Matéria:
Estamos lidando com distribuições de probabilidade conjunta e marginais. Para encontrar a distribuição marginal de uma variável, precisamos “esquecer” a outra, ou seja, integrar a função de densidade conjunta em relação à outra variável.
Estamos lidando com distribuições de probabilidade conjunta e marginais. Para encontrar a distribuição marginal de uma variável, precisamos “esquecer” a outra, ou seja, integrar a função de densidade conjunta em relação à outra variável.
O que vamos precisar:
- Entender como calcular distribuições marginais através de integrais.
- Saber identificar os limites de integração com base nas condições dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função de distribuição marginal de
, que chamaremos de
. Para isso, precisamos integrar a função de densidade conjunta
em relação a
, já que queremos “eliminar”
.
A fórmula para a distribuição marginal de
é:
Passo 3
Vamos substituir os valores na fórmula. Sabemos que
, então os limites de integração são de 1 a 3. A função de densidade conjunta é
.
Então:
Passo 4
Como
não depende de
, podemos tirar isso da integral:
Passo 5
Agora, calculamos a integral
, que é simplesmente a diferença entre os limites:
Passo 6
Substituímos o resultado da integral de volta na expressão para
:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a função de distribuição marginal de
, que chamaremos de
. Para isso, precisamos integrar a função de densidade conjunta
em relação a
, já que queremos “eliminar”
.
A fórmula para a distribuição marginal de
é:
Passo 8
Vamos substituir os valores na fórmula. Sabemos que
, então os limites de integração são de 2 a
. A função de densidade conjunta é
.
Então:
Passo 9
Vamos simplificar a expressão. Podemos tirar a constante
da integral:
Passo 10
Calculamos a integral
. A integral de
é
, então:
Passo 11
Substituímos o resultado da integral de volta na expressão para
:
Resposta
As funções de distribuição marginais são:
e