fX, Y(x, y)=c(y^2-x^2) e^-y I(-y, y)(x) I(0, infty)(y)
(a) Encontre o valor de c.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá uma função de densidade conjunta $ f_{X, Y}(x, y) = c(y^{2} - x^{2}) e^{-y} I_{(-y, y)}(x) I_{(0, \infty)}(y) $ e pede para encontrar o valor de $ c $. Aqui, estamos lidando com funções de densidade de probabilidade e precisamos garantir que a integral dessa função sobre todo o espaço seja igual a 1. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Integral e Probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções indicadoras $ I_{(-y, y)}(x) $ e $ I_{(0, \infty)}(y) $. Essas indicam que $ x $ está no intervalo $ (-y, y) $ e que $ y $ é positivo. Então, nossa área de integração é onde $ y > 0 $ e $ -y < x < y $.

Passo 3

Sabemos que para uma função ser uma densidade de probabilidade válida, a integral dupla dela sobre todo o espaço deve ser igual a 1. Portanto, vamos montar a integral:
integral0^infty integral-y^y c(y^2 - x^2) e^-y dx , dy = 1

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a $ x $:
x
Integrando termo a termo:
integral-y^y (y^2 - x^2) dx
integral-y^y y^2 dx - integral-y^y x^2 dx = y^2 cdot (2y) - [ x^33 ]-y^y

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
c cdot 43 integral0^infty y^3 e^-y dy = 1

Passo 6

Reconhecemos que a integral $ \int_{0}^{\infty} y^{3} e^{-y} dy $ é o fatorial de 3, ou seja, $ 3! = 6 $. Portanto:
integral0^infty y^3 e^-y dy

Passo 7

Resolvendo para $ c $:
c

Resposta

O valor de $ c $ é $ \frac{1}{8} $.

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