(a) Encontre o valor de c.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá uma função de densidade conjunta $ f_{X, Y}(x, y) = c(y^{2} - x^{2}) e^{-y} I_{(-y, y)}(x) I_{(0, \infty)}(y) $ e pede para encontrar o valor de $ c $. Aqui, estamos lidando com funções de densidade de probabilidade e precisamos garantir que a integral dessa função sobre todo o espaço seja igual a 1. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Integral e Probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as funções indicadoras $ I_{(-y, y)}(x) $ e $ I_{(0, \infty)}(y) $. Essas indicam que $ x $ está no intervalo $ (-y, y) $ e que $ y $ é positivo. Então, nossa área de integração é onde $ y > 0 $ e $ -y < x < y $.
Passo 3
Sabemos que para uma função ser uma densidade de probabilidade válida, a integral dupla dela sobre todo o espaço deve ser igual a 1. Portanto, vamos montar a integral:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em relação a $ x $:
Integrando termo a termo:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Passo 6
Reconhecemos que a integral $ \int_{0}^{\infty} y^{3} e^{-y} dy $ é o fatorial de 3, ou seja, $ 3! = 6 $. Portanto:
Passo 7
Resolvendo para $ c $:
Resposta
O valor de $ c $ é $ \frac{1}{8} $.