A função densidade de probabilidade conjunta do vetor aleatório (X1, X2) é dada por:
fX1, X2(x1, x2)=k IA(x)
em que A é a região formada pelas retas que passam pelos pontos (0,0),(1,1),(0,2) e (-1,1).
Encontre a função densidade marginal de probabilidade da variável aleatória X2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função densidade de probabilidade conjunta $ f_{X_{1}, X_{2}}(x_{1}, x_{2}) = k \cdot I_{A}(x) $, onde $ A $ é a região formada pelas retas que passam pelos pontos fX1, X2(x1, x2) = k cdot IA(x) , A , (0,0) e (1,1). Nosso objetivo é encontrar a função densidade marginal de probabilidade da variável aleatória $ X_{2} $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções densidade conjunta e marginais, além de calcular áreas de regiões no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ I_{A}(x) $. Essa notação representa a função indicador da região $ A $. Ou seja, $ I_{A}(x) = 1 $ se o ponto $ (x_{1}, x_{2}) $ está dentro da região $ A $ e $ I_{A}(x) = 0 $ caso contrário. Isso quer dizer que nossa função densidade $ f_{X_{1}, X_{2}}(x_{1}, x_{2}) $ é constante dentro da região $ A $ e zero fora dela.

Passo 3

Para encontrar a constante $ k $, precisamos usar a propriedade das funções densidade de probabilidade conjunta, que diz que a integral de $ f_{X_{1}, X_{2}}(x_{1}, x_{2}) $ sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
k
Como $ f_{X_{1}, X_{2}}(x_{1}, x_{2}) = k $ dentro de $ A $ e 0 fora, a integral simplifica para:
fX1, X2(x1, x2) ÁÁ

Passo 4

Vamos calcular a área da região $ A $. Os pontos dados são A , (0,0), (1,1) e (0,2). Se plotarmos esses pontos, percebemos que formam um losango (ou um quadrado rotacionado) com centro em (-1,1).
Para calcular a área de um losango, usamos a fórmula:
(0,1)Á
onde $ d_1 $ e $ d_2 $ são as medidas das diagonais do losango.

Passo 5

Vamos determinar as diagonais do losango. Observando os pontos:
  • A diagonal vertical vai de (0,0) a (0,2), com comprimento $ 2 $.
  • A diagonal horizontal vai de 2 a (-1,1), com comprimento $ 2 $.
Então, temos $ d_1 = 2 $ e $ d_2 = 2 $.
Aplicando na fórmula da área:
(1,1)Á

Passo 6

Agora que sabemos a área de $ A $, podemos encontrar $ k $:
A Á
Então, a função densidade conjunta fica:
k

Passo 7

Para encontrar a função densidade marginal de $ X_{2} $, que é $ f_{X_{2}}(x_{2}) $, precisamos integrar a função densidade conjunta em relação a $ x_{1} $:
X2
Como $ f_{X_{1}, X_{2}}(x_{1}, x_{2}) = \frac{1}{2} $ dentro de $ A $ e 0 fora, a integral se reduz a:
fX2(x2)

Passo 8

Vamos determinar a “largura” da região $ A $ para cada valor de $ x_{2} $. Observando o losango, para cada $ x_{2} $ entre 0 e 2, a largura em $ x_{1} $ varia linearmente.
As equações das linhas que formam $ A $ são:
  1. De A a x2 : $ x_{2} = x_{1} $
  2. De x2 a x1 : $ x_{2} = -x_{1} + 2 $
  3. De A a (0,0): $ x_{2} = x_{1} + 2 $
  4. De (1,1) a x2 = x1 : $ x_{2} = -x_{1} $
Para cada $ x_{2} $ entre 0 e 2, os limites de $ x_{1} $ são dados por:
(1,1)

Passo 9

Portanto, a largura da região $ A $ para um dado $ x_{2} $ é de $ 2x_{2} $. Assim, a função densidade marginal $ f_{X_{2}}(x_{2}) $ fica:
A
Mas precisamos considerar que isso é válido apenas para $ x_{2} $ entre 0 e 2, já que fora desse intervalo, a densidade é zero.

Resposta

A função densidade marginal de $ X_{2} $ é:
X2 á

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