A função densidade de probabilidade conjunta do vetor aleatório
é dada por:
em que
é a região formada pelas retas que passam pelos pontos
e
.
Encontre a função densidade marginal de probabilidade da variável aleatória
.
Encontre a função densidade marginal de probabilidade da variável aleatória
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função densidade de probabilidade conjunta $ f_{X_{1}, X_{2}}(x_{1}, x_{2}) = k \cdot I_{A}(x) $, onde $ A $ é a região formada pelas retas que passam pelos pontos
,
,
e
. Nosso objetivo é encontrar a função densidade marginal de probabilidade da variável aleatória $ X_{2} $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções densidade conjunta e marginais, além de calcular áreas de regiões no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ I_{A}(x) $. Essa notação representa a função indicador da região $ A $. Ou seja, $ I_{A}(x) = 1 $ se o ponto $ (x_{1}, x_{2}) $ está dentro da região $ A $ e $ I_{A}(x) = 0 $ caso contrário. Isso quer dizer que nossa função densidade $ f_{X_{1}, X_{2}}(x_{1}, x_{2}) $ é constante dentro da região $ A $ e zero fora dela.
Passo 3
Para encontrar a constante $ k $, precisamos usar a propriedade das funções densidade de probabilidade conjunta, que diz que a integral de $ f_{X_{1}, X_{2}}(x_{1}, x_{2}) $ sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
Como $ f_{X_{1}, X_{2}}(x_{1}, x_{2}) = k $ dentro de $ A $ e 0 fora, a integral simplifica para:
Passo 4
Vamos calcular a área da região $ A $. Os pontos dados são
,
,
e
. Se plotarmos esses pontos, percebemos que formam um losango (ou um quadrado rotacionado) com centro em
.
Para calcular a área de um losango, usamos a fórmula:
onde $ d_1 $ e $ d_2 $ são as medidas das diagonais do losango.
Passo 5
Vamos determinar as diagonais do losango. Observando os pontos:
- A diagonal vertical vai de
a , com comprimento $ 2 $. - A diagonal horizontal vai de
a , com comprimento $ 2 $.
Então, temos $ d_1 = 2 $ e $ d_2 = 2 $.
Aplicando na fórmula da área:
Passo 6
Agora que sabemos a área de $ A $, podemos encontrar $ k $:
Então, a função densidade conjunta fica:
Passo 7
Para encontrar a função densidade marginal de $ X_{2} $, que é $ f_{X_{2}}(x_{2}) $, precisamos integrar a função densidade conjunta em relação a $ x_{1} $:
Como $ f_{X_{1}, X_{2}}(x_{1}, x_{2}) = \frac{1}{2} $ dentro de $ A $ e 0 fora, a integral se reduz a:
Passo 8
Vamos determinar a “largura” da região $ A $ para cada valor de $ x_{2} $. Observando o losango, para cada $ x_{2} $ entre 0 e 2, a largura em $ x_{1} $ varia linearmente.
As equações das linhas que formam $ A $ são:
- De
a : $ x_{2} = x_{1} $ - De
a : $ x_{2} = -x_{1} + 2 $ - De
a : $ x_{2} = x_{1} + 2 $ - De
a : $ x_{2} = -x_{1} $
Para cada $ x_{2} $ entre 0 e 2, os limites de $ x_{1} $ são dados por:
Passo 9
Portanto, a largura da região $ A $ para um dado $ x_{2} $ é de $ 2x_{2} $. Assim, a função densidade marginal $ f_{X_{2}}(x_{2}) $ fica:
Mas precisamos considerar que isso é válido apenas para $ x_{2} $ entre 0 e 2, já que fora desse intervalo, a densidade é zero.
Resposta
A função densidade marginal de $ X_{2} $ é: