A função densidade de probabilidade conjunta do vetor aleatório
é dada por:
em que
é a região formada pelas retas que passam pelos pontos
e
.
Encontre
.
Encontre
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Probabilidade, mais especificamente envolvendo função densidade de probabilidade conjunta. A gente tem duas variáveis aleatórias, $ X_1 $ e $ X_2 $, e a função densidade delas é dada por:
Onde $ I_A(x) $ é a função indicadora da região $ A $. A região $ A $ é tipo um polígono formado pelas retas que passam pelos pontos
,
,
e
. Nossa missão aqui é encontrar o valor esperado de $ X_1 $, ou seja, $ E[X_1] $.
Para resolver isso, vamos precisar entender como normalizar a função densidade para encontrar o valor de $ k $ e depois calcular o valor esperado. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor de $ k $ que faz com que $ f_{X_{1}, X_{2}}(x_{1}, x_{2}) $ seja uma função densidade válida. Para isso, a gente sabe que a integral de toda a função densidade sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
Como a função é zero fora da região $ A $, podemos simplificar para:
Então, para achar $ k $, precisamos descobrir a área da região $ A $.
Passo 3
Vamos visualizar a região $ A $ formada pelos pontos
,
,
e
. Essas são as coordenadas dos vértices de um losango (ou diamante) simétrico em relação ao eixo $ y $.
Para calcular a área de um losango, podemos usar a fórmula:
Onde $ d_1 $ e $ d_2 $ são os comprimentos das diagonais. Observando os pontos:
- A diagonal vertical vai de
a , então $ d_1 = 2 $. - A diagonal horizontal vai de
a , então $ d_2 = 2 $.
Aplicando na fórmula:
Passo 4
Agora que sabemos que a área de $ A $ é 2, podemos encontrar $ k $ usando a equação $ k \cdot Área(A) = 1 $:
Então, a função densidade fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor esperado $ E[X_1] $. A fórmula para o valor esperado de $ X_1 $ é:
Como a função densidade é zero fora de $ A $, podemos restringir a integral à região $ A $:
Passo 6
Observando a simetria da região $ A $ em relação ao eixo $ y $, percebemos que para cada ponto
em $ A $, existe um ponto
também em $ A $. Isso significa que os valores positivos e negativos de $ X_1 $ se cancelam na média.
Portanto, sem precisar calcular a integral, podemos concluir que:
Resposta
O valor esperado de $ X_1 $ é 0.