A função densidade de probabilidade conjunta do vetor aleatório (X1, X2) é dada por:
fX1, X2(x1, x2)=k IA(x)
em que A é a região formada pelas retas que passam pelos pontos (0,0),(1,1),(0,2) e (-1,1).
Encontre E[X1].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Probabilidade, mais especificamente envolvendo função densidade de probabilidade conjunta. A gente tem duas variáveis aleatórias, $ X_1 $ e $ X_2 $, e a função densidade delas é dada por:
X1
Onde $ I_A(x) $ é a função indicadora da região $ A $. A região $ A $ é tipo um polígono formado pelas retas que passam pelos pontos X2 , fX1, X2(x1, x2) = k cdot IA(x) , IA(x) e A . Nossa missão aqui é encontrar o valor esperado de $ X_1 $, ou seja, $ E[X_1] $.
Para resolver isso, vamos precisar entender como normalizar a função densidade para encontrar o valor de $ k $ e depois calcular o valor esperado. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de $ k $ que faz com que $ f_{X_{1}, X_{2}}(x_{1}, x_{2}) $ seja uma função densidade válida. Para isso, a gente sabe que a integral de toda a função densidade sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
k
Como a função é zero fora da região $ A $, podemos simplificar para:
fX1, X2(x1, x2) Á
Então, para achar $ k $, precisamos descobrir a área da região $ A $.

Passo 3

Vamos visualizar a região $ A $ formada pelos pontos A , (0,0), (1,1) e (0,2). Essas são as coordenadas dos vértices de um losango (ou diamante) simétrico em relação ao eixo $ y $.
Para calcular a área de um losango, podemos usar a fórmula:
(-1,1)Á
Onde $ d_1 $ e $ d_2 $ são os comprimentos das diagonais. Observando os pontos:
  • A diagonal vertical vai de y a Área = d1 cdot d22 , então $ d_1 = 2 $.
  • A diagonal horizontal vai de d1 a d2 , então $ d_2 = 2 $.
Aplicando na fórmula:
(0,0)Á

Passo 4

Agora que sabemos que a área de $ A $ é 2, podemos encontrar $ k $ usando a equação $ k \cdot Área(A) = 1 $:
A
Então, a função densidade fica:
k

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor esperado $ E[X_1] $. A fórmula para o valor esperado de $ X_1 $ é:
E[X1]
Como a função densidade é zero fora de $ A $, podemos restringir a integral à região $ A $:
X1

Passo 6

Observando a simetria da região $ A $ em relação ao eixo $ y $, percebemos que para cada ponto A em $ A $, existe um ponto y também em $ A $. Isso significa que os valores positivos e negativos de $ X_1 $ se cancelam na média.
Portanto, sem precisar calcular a integral, podemos concluir que:
(x1, x2)

Resposta

O valor esperado de $ X_1 $ é 0.

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