Podemos regularizar a função
usando o parâmetro
, i.e,
Mostre que a integral do Laplaciano da função regularizada é um, i.e,
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função regularizada chamada
, que basicamente ajusta a função
usando um parâmetro
. O objetivo é mostrar que, ao calcularmos a integral do Laplaciano dessa função regularizada sobre todo o espaço
, o resultado será igual a 1.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos:
- Função Regularizada: É uma maneira de “suavizar” funções que podem ter comportamentos complicados ou singularidades.
- Laplaciano: Um operador diferencial que, em duas dimensões, é a soma das segundas derivadas parciais em relação a cada coordenada.
- Integral sobre o Espaço: Vamos calcular a área total resultante da aplicação do Laplaciano na função regularizada.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o Laplaciano da função regularizada
. A função dada é:
Podemos simplificar essa expressão usando propriedades de logaritmos:
Agora, vamos calcular o Laplaciano
. Em coordenadas cartesianas, o Laplaciano em duas dimensões é dado por:
Aplicando isso à nossa função
:
Calculando as derivadas, obtenemos:
Após simplificar, percebemos que:
Simplificando ainda mais:
Passo 3
Agora que temos o Laplaciano da função regularizada, precisamos calcular a integral desse Laplaciano sobre todo o espaço
:
Substituindo o que encontramos:
Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a integral. Seja
. Como a integral é sobre todo o espaço, podemos reescrever:
Usando coordenadas polares, onde
e
, a integral se torna:
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Fazendo a substituição
, então
:
Agora, integrando em
:
Parece que houve um sinal negativo na função original, o que nos leva a:
Resposta
A integral do Laplaciano da função regularizada
sobre todo o espaço
é igual a 1.
Exercícios relacionados
Mostre que o Laplaciano em duas dimensões, i.e.,
atuando sobre
é zero para todo
, i.e.,
Se
, determine
. [Dica: Qual ordem de diferenciação é a mais fácil?]
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Mostre que o Laplaciano em três dimensões, i.e.,
atuando sobre
é zero para todo
, i.e.,