Mostre que o Laplaciano em duas dimensões, i.e.,
nabla^2=partial^2partial x1^2+partial^2partial x2^2
atuando sobre ln sigma(x, y) é zero para todo x neq y, i.e.,
nabla^2 ln sigma(x, y)=0

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o Laplaciano em duas dimensões, que é uma operação matemática usada em cálculo vetorial, quando aplicada à função , dá zero para todo . Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e entender o que é o Laplaciano.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Laplaciano em duas dimensões. Ele é definido como:
nabla^2 = partial^2partial x^2 + partial^2partial y^2
Isso significa que vamos calcular a segunda derivada de em relação a e depois em relação a , e somar esses resultados.

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada de partialpartial x ln sigma(x, y) = 1sigma(x, y) cdot partial sigma(x, y)partial x em relação a . Usando a regra da cadeia, temos:

Passo 4

Em seguida, calculamos a segunda derivada em relação a partial^2partial x^2 ln sigma(x, y) = partialpartial x ( 1sigma(x, y) cdot partial sigma(x, y)partial x ) :
= partialpartial x ( 1sigma(x, y) ) cdot partial sigma(x, y)partial x + 1sigma(x, y) cdot partial^2 sigma(x, y)partial x^2
Aplicando a regra do produto:

Passo 5

Simplificando cada termo:
partialpartial x ( 1sigma(x, y) ) = -1sigma(x, y)^2 cdot partial sigma(x, y)partial x
Então:
partial^2partial x^2 ln sigma(x, y) = -1sigma(x, y)^2 ( partial sigma(x, y)partial x )^2 + 1sigma(x, y) cdot partial^2 sigma(x, y)partial x^2

Passo 6

Fazemos o mesmo para a derivada em relação a partial^2partial y^2 ln sigma(x, y) = -1sigma(x, y)^2 ( partial sigma(x, y)partial y )^2 + 1sigma(x, y) cdot partial^2 sigma(x, y)partial y^2 :

Passo 7

Agora, somamos as duas segundas derivadas para obter o Laplaciano:
nabla^2 ln sigma(x, y) = partial^2partial x^2 ln sigma(x, y) + partial^2partial y^2 ln sigma(x, y)
Substituindo os resultados:
= -1sigma(x, y)^2 [ ( partial sigma(x, y)partial x )^2 + ( partial sigma(x, y)partial y )^2 ] + 1sigma(x, y) [ partial^2 sigma(x, y)partial x^2 + partial^2 sigma(x, y)partial y^2 ]

Passo 8

Considerando que sigma(x, y) = raizx^2 + y^2 representa a distância entre os pontos partial sigmapartial x = xraizx^2 + y^2 e partial sigmapartial y = yraizx^2 + y^2 , temos:
partial^2 sigmapartial x^2 = y^2(x^2 + y^2)^3/2
Calculando as derivadas:
partial^2 sigmapartial y^2 = x^2(x^2 + y^2)^3/2

Passo 9

Substituindo essas derivadas na expressão do Laplaciano:
nabla^2 ln sigma(x, y) = -1(x^2 + y^2) ( x^2x^2 + y^2 + y^2x^2 + y^2 ) + 1raizx^2 + y^2 ( y^2 + x^2(x^2 + y^2)^3/2 )
Simplificando:
= -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2 + x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2 = 0

Resposta

Portanto, mostramos que:
nabla^2 ln sigma(x, y) = 0 para todo x neq y

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