Mostre que o Laplaciano em duas dimensões, i.e.,
atuando sobre
é zero para todo
, i.e.,
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o Laplaciano em duas dimensões, que é uma operação matemática usada em cálculo vetorial, quando aplicada à função
, dá zero para todo
. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e entender o que é o Laplaciano.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Laplaciano em duas dimensões. Ele é definido como:
Isso significa que vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
e depois em relação a
, e somar esses resultados.
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
. Usando a regra da cadeia, temos:
Passo 4
Em seguida, calculamos a segunda derivada em relação a
:
Aplicando a regra do produto:
Passo 5
Simplificando cada termo:
Então:
Passo 6
Fazemos o mesmo para a derivada em relação a
:
Passo 7
Agora, somamos as duas segundas derivadas para obter o Laplaciano:
Substituindo os resultados:
Passo 8
Considerando que
representa a distância entre os pontos
e
, temos:
Calculando as derivadas:
Passo 9
Substituindo essas derivadas na expressão do Laplaciano:
Simplificando:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Se
, determine
. [Dica: Qual ordem de diferenciação é a mais fácil?]
Escreva a função de Green em termos da distância
.
Podemos regularizar a função
usando o parâmetro
, i.e,
Mostre que a integral do Laplaciano da função regularizada é um, i.e,
Mostre que a integral do Laplaciano da função regularizada é a função delta de Dirac, i.e,