Para ter uma ideia mais concreta da velocidade de crescimento da exponencial, vamos dar um exemplo muito concreto. Você já notou como é difícil dobrar uma folha de papel pela metade muitas vezes? Tente dobrar uma folha ao meio mais do que 7 vezes para ter uma noção. A espessura de uma folha dobrada
vezes é de aproximadamente:
Alguns valores de
são dados na tabela abaixo:
|
|
---|---|
1 |
|
12 |
|
23 |
|
30 |
|
42 |
|
51 |
|
103 |
|
Relembrando que a função
é a inversa de
, tente entender o quão lerdo é seu crescimento. Por exemplo, quão grande você precisa que
seja para que
seja maior que 103? Dê alguma estimativa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como a função exponencial cresce rapidinho, usando o exemplo de dobrar uma folha de papel várias vezes. A matéria envolvida é funções exponenciais e logarítmicas. Pra resolver, vamos precisar entender como essas funções funcionam, especialmente como a função logarítmica é a inversa da exponencial. Vamos descobrir quão grande precisa ser o número
para que
seja maior que 103.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função logarítmica
é a inversa da função exponencial
. Isso significa que se
, então
.
Passo 3
A questão nos pede para encontrar o valor de
tal que
. Vamos escrever isso matematicamente:
Passo 4
Para resolver essa desigualdade, vamos usar a propriedade da função inversa. Se
, então:
Passo 5
Agora, precisamos estimar o valor de
. Sabemos que
, e cada aumento no expoente multiplica o valor por 2. Mas calcular
diretamente é complicado, então vamos usar aproximações.
Passo 6
Sabemos que
(porque
e
). Então, podemos aproximar
como:
Passo 7
Portanto,
precisa ser maior que aproximadamente
para que
.
Resposta
O valor de
precisa ser maior que aproximadamente
para que
seja maior que 103.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico das funções abaixo
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(f)
(d)
Mostre que se
for limitada e
, então
.