Para ter uma ideia mais concreta da velocidade de crescimento da exponencial, vamos dar um exemplo muito concreto. Você já notou como é difícil dobrar uma folha de papel pela metade muitas vezes? Tente dobrar uma folha ao meio mais do que 7 vezes para ter uma noção. A espessura de uma folha dobrada n vezes é de aproximadamente:
L(n) = 0,0001 * 2^n * m
Alguns valores de L(n) são dados na tabela abaixo:
n L(n)
1 0,2 mm
12 ~20 cm
23 ~ 1 km
30 >100 km
42 >384000 km (distância até a Lua)
51 > 150000000 km (distância até o Sol)
103 >93000000000 anos luz (diâmetro do universo visível)
Relembrando que a função f(x) = log2(x) é a inversa de 2^n, tente entender o quão lerdo é seu crescimento. Por exemplo, quão grande você precisa que x seja para que log2(x) seja maior que 103? Dê alguma estimativa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como a função exponencial cresce rapidinho, usando o exemplo de dobrar uma folha de papel várias vezes. A matéria envolvida é funções exponenciais e logarítmicas. Pra resolver, vamos precisar entender como essas funções funcionam, especialmente como a função logarítmica é a inversa da exponencial. Vamos descobrir quão grande precisa ser o número para que seja maior que 103.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função logarítmica é a inversa da função exponencial . Isso significa que se , então .

Passo 3

A questão nos pede para encontrar o valor de tal que . Vamos escrever isso matematicamente:

Passo 4

Para resolver essa desigualdade, vamos usar a propriedade da função inversa. Se , então:

Passo 5

Agora, precisamos estimar o valor de . Sabemos que , e cada aumento no expoente multiplica o valor por 2. Mas calcular diretamente é complicado, então vamos usar aproximações.

Passo 6

Sabemos que (porque e ). Então, podemos aproximar como:

Passo 7

Portanto, precisa ser maior que aproximadamente para que .

Resposta

O valor de precisa ser maior que aproximadamente para que seja maior que 103.

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