Uma fábrica de baterias sabe que a duração média de suas baterias é de 600 dias e desvio padrão de 100 dias, sendo que a duração tem distribuição normal. O fabricante oferece um garantia de 312 dias, isto é, troco as baterias que apresentarem defeitos nesse período. Fabrica-se 10000 baterias mensalmente. Quantas baterias deverio ser trocadas pelo uso da garantia mensalmente?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos uma fábrica que produz baterias com uma duração média de 600 dias e um desvio padrão de 100 dias. Essas durações seguem uma distribuição normal, que é tipo aquela forma de sino que a gente vê nos gráficos. A fábrica oferece uma garantia de 312 dias, ou seja, se a bateria falhar nesse período, eles trocam ela. Eles produzem 10.000 baterias por mês e querem saber quantas dessas baterias provavelmente vão precisar ser trocadas pela garantia todo mês. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística, mais especificamente a distribuição normal e o cálculo de probabilidades.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir qual é a probabilidade de uma bateria durar 312 dias ou menos. Como a duração das baterias segue uma distribuição normal com média (μ) de 600 dias e desvio padrão (σ) de 100 dias, podemos calcular o valor z, que nos ajuda a encontrar essa probabilidade. A fórmula para calcular o valor z é:
Aqui, é o valor que estamos analisando, que no caso é 312 dias.

Passo 3

Vamos aplicar os valores na fórmula:
Então, o valor z é -2,88. Esse número nos diz quantos desvios padrões o valor de 312 dias está abaixo da média.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a probabilidade de uma bateria durar 312 dias ou menos, ou seja, . Para isso, consultamos a tabela da distribuição normal padrão ou usamos uma calculadora de probabilidades. Um valor z de -2,88 corresponde a uma probabilidade de aproximadamente 0,0020, ou 0,2%.

Passo 5

Com a probabilidade em mãos, vamos calcular quantas baterias, das 10.000 produzidas por mês, provavelmente vão precisar ser trocadas pela garantia. Multiplicamos a probabilidade pela quantidade total de baterias:

Resposta

Então, é esperado que cerca de 20 baterias por mês sejam trocadas pelo uso da garantia.

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Seja uma v.a. com distribuição normal padrão. Encontre:
(f) (Resp: 0,9901)
Seja uma v.a. com distribuição normal padrão. Encontre:
(b) (Resp: 0,2517
Seja uma v.a. com distribuição normal padrão. Encontre:
© (Resp: 0,9104 )
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(g) (Resp: 0,8599 )