Uma fábrica de cerâmica produz um tipo de peça usando o processo A de fabricação. Com o objetivo de melhorar a média de resistência das peças, quando submetidas a determinado grau de temperatura, um processo B foi introduzido. Com os dados amostrais abaixo, relativos à temperatura de rompimento das peças, testar a hipótese de que não existe diferença significativa entre os valores medianos dos dois processos, cujos dados amostrais analisados encontram-se descritos a seguir (considere
).
PROCESSO A | 90,3 | 93,4 | 96,8 | 91,4 | 92,6 | 102,5 | 103,4 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
PROCESSO B | 101,4 | 98,5 | 104,6 | 95,8 | 96,2 | 94,6 | 99,5 |
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos duas amostras de temperaturas de rompimento das peças produzidas pelos processos A e B. Queremos testar a hipótese de que não há diferença significativa entre os valores medianos desses dois processos. Para isso, vamos usar um teste estatístico que compara medianas de duas amostras independentes. Vamos precisar dos dados das duas amostras e do nível de significância
.
Passo 2
Como estamos comparando as medianas de duas amostras independentes e não sabemos se os dados seguem uma distribuição normal, vamos utilizar o Teste de Mann-Whitney (também conhecido como Teste U de Mann-Whitney). Esse teste é não paramétrico e é adequado para comparar medianas quando as amostras não necessariamente seguem uma distribuição normal.
Passo 3
Primeiro, vamos organizar os dados das duas amostras:
- Processo A: 90,3; 93,4; 96,8; 91,4; 92,6; 102,5; 103,4
- Processo B: 101,4; 98,5; 104,6; 95,8; 96,2; 94,6; 99,5
Passo 4
Agora, vamos combinar todas as observações e ordená-las em ordem crescente, atribuindo uma classificação (rank) para cada valor.
Valor | Processo | Rank |
---|---|---|
90,3 | A | 1 |
91,4 | A | 2 |
92,6 | A | 3 |
93,4 | A | 4 |
94,6 | B | 5 |
95,8 | B | 6 |
96,2 | B | 7 |
96,8 | A | 8 |
98,5 | B | 9 |
99,5 | B | 10 |
101,4 | B | 11 |
102,5 | A | 12 |
103,4 | A | 13 |
104,6 | B | 14 |
Passo 5
Agora, vamos somar os ranks para cada grupo:
- Soma dos ranks do Processo A (R₁): 1 + 2 + 3 + 4 + 8 + 12 + 13 = 43
- Soma dos ranks do Processo B (R₂): 5 + 6 + 7 + 9 + 10 + 11 + 14 = 62
Passo 6
Vamos identificar o grupo com a menor soma de ranks. Neste caso, o Processo A tem R₁ = 43.
Passo 7
Calculamos o valor do teste U usando a fórmula:
Onde:
-
é a soma dos ranks do grupo menor (Processo A, R₁ = 43) -
é o número de observações no grupo (n = 7)
Passo 8
Agora, vamos determinar o valor crítico de U para um nível de significância de
com n₁ = n₂ = 7. Consultando uma tabela do teste de Mann-Whitney, o valor crítico para n₁ = n₂ = 7 e
(teste bicaudal) é 8.
Passo 9
Comparando o valor calculado de U com o valor crítico:
- Se
, rejeitamos a hipótese nula. - Caso contrário, não rejeitamos a hipótese nula.
Neste caso,
e
.
Como
, não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com um nível de significância de 5%, não encontramos evidências suficientes para afirmar que existe uma diferença significativa entre as medianas dos processos A e B.