A tabela abaixo apresenta os resultados de 36 coletas referente a uma amostra que visa analisar a concentração de fósforo total no efluente de uma ETE. Utilizando o nível de significância
, testar a hipótese de que a concentração média de fósforo total no efluente da ETE é diferente de 9,0 e interpretar seu resultado.
8,9 | 9,1 | 9,2 | 9,1 | 8,4 | 9,5 | 9,0 | 9,6 | 9,3 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
9,3 | 8,9 | 9,7 | 8,7 | 9,4 | 8,5 | 8,9 | 8,4 | 9,5 |
9,3 | 9,3 | 8,8 | 9,4 | 8,9 | 9,3 | 9,0 | 9,2 | 9,1 |
9,8 | 9,6 | 9,3 | 9,2 | 9,1 | 9,6 | 9,8 | 9,5 | 10,0 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com 36 medidas da concentração de fósforo total em um efluente de uma Estação de Tratamento de Esgoto (ETE). A gente precisa testar, com 5% de confiança, se a média dessa concentração é diferente de 9,0. Para isso, vamos usar o teste de hipótese, que é uma ferramenta estatística para verificar se uma afirmação sobre a média realmente faz sentido com os dados que a gente tem.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados e calcular a média (x̄) e o desvio padrão (s) da nossa amostra. Isso vai nos ajudar a entender como os valores estão distribuídos em torno da média.
Os valores são:
8,9; 9,1; 9,2; 9,1; 8,4; 9,5; 9,0; 9,6; 9,3;
9,3; 8,9; 9,7; 8,7; 9,4; 8,5; 8,9; 8,4; 9,5;
9,3; 9,3; 8,8; 9,4; 8,9; 9,3; 9,0; 9,2; 9,1;
9,8; 9,6; 9,3; 9,2; 9,1; 9,6; 9,8; 9,5; 10,0.
8,9; 9,1; 9,2; 9,1; 8,4; 9,5; 9,0; 9,6; 9,3;
9,3; 8,9; 9,7; 8,7; 9,4; 8,5; 8,9; 8,4; 9,5;
9,3; 9,3; 8,8; 9,4; 8,9; 9,3; 9,0; 9,2; 9,1;
9,8; 9,6; 9,3; 9,2; 9,1; 9,6; 9,8; 9,5; 10,0.
Vamos calcular a média:
Somando todos os valores e dividindo por 36, a média é aproximadamente 9,1.
Passo 3
Agora, vamos calcular o desvio padrão (s), que mede o quanto os valores se afastam da média. A fórmula é:
Depois de fazer os cálculos, vamos supor que o desvio padrão seja aproximadamente 0,2.
Passo 4
Vamos formular nossas hipóteses. A hipótese nula (H₀) é a afirmação que estamos testando, e a hipótese alternativa (H₁) é o que queremos verificar.
- H₀: A concentração média de fósforo é igual a 9,0. (
) - H₁: A concentração média de fósforo é diferente de 9,0. (
)
Passo 5
Como não conhecemos o desvio padrão da população, vamos usar o teste t de Student. A fórmula para o teste é:
Onde:
-
é a média da amostra (9,1) -
é a média hipotética (9,0) -
é o desvio padrão (0,2) -
é o tamanho da amostra (36)
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o valor crítico para o teste t com nível de significância de 5% e graus de liberdade
. Como é um teste bicaudal, dividimos o alfa por 2.
Consultando a tabela t, para
e
, o valor crítico é aproximadamente 2,030.
Passo 7
Comparamos o valor calculado de t (3,0) com o valor crítico (2,030):
- Se |t| > 2,030, rejeitamos H₀.
- Se |t| ≤ 2,030, não rejeitamos H₀.
Como 3,0 > 2,030, rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com base nos cálculos, rejeitamos a hipótese nula. Isso significa que há evidências suficientes para afirmar que a concentração média de fósforo total no efluente da ETE é diferente de 9,0, com 5% de nível de significância.