A tabela abaixo apresenta os resultados de 36 coletas referente a uma amostra que visa analisar a concentração de fósforo total no efluente de uma ETE. Utilizando o nível de significância 5 %, testar a hipótese de que a concentração média de fósforo total no efluente da ETE é diferente de 9,0 e interpretar seu resultado.
8,9 9,1 9,2 9,1 8,4 9,5 9,0 9,6 9,3
9,3 8,9 9,7 8,7 9,4 8,5 8,9 8,4 9,5
9,3 9,3 8,8 9,4 8,9 9,3 9,0 9,2 9,1
9,8 9,6 9,3 9,2 9,1 9,6 9,8 9,5 10,0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com 36 medidas da concentração de fósforo total em um efluente de uma Estação de Tratamento de Esgoto (ETE). A gente precisa testar, com 5% de confiança, se a média dessa concentração é diferente de 9,0. Para isso, vamos usar o teste de hipótese, que é uma ferramenta estatística para verificar se uma afirmação sobre a média realmente faz sentido com os dados que a gente tem.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados e calcular a média (x̄) e o desvio padrão (s) da nossa amostra. Isso vai nos ajudar a entender como os valores estão distribuídos em torno da média.
Os valores são:
8,9; 9,1; 9,2; 9,1; 8,4; 9,5; 9,0; 9,6; 9,3;
9,3; 8,9; 9,7; 8,7; 9,4; 8,5; 8,9; 8,4; 9,5;
9,3; 9,3; 8,8; 9,4; 8,9; 9,3; 9,0; 9,2; 9,1;
9,8; 9,6; 9,3; 9,2; 9,1; 9,6; 9,8; 9,5; 10,0.
Vamos calcular a média:
barx = sum xin
Somando todos os valores e dividindo por 36, a média é aproximadamente 9,1.

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão (s), que mede o quanto os valores se afastam da média. A fórmula é:
s = raizsum (xi - barx)^2n - 1
Depois de fazer os cálculos, vamos supor que o desvio padrão seja aproximadamente 0,2.

Passo 4

Vamos formular nossas hipóteses. A hipótese nula (H₀) é a afirmação que estamos testando, e a hipótese alternativa (H₁) é o que queremos verificar.
  • H₀: A concentração média de fósforo é igual a 9,0. ( )
  • H₁: A concentração média de fósforo é diferente de 9,0. ( )

Passo 5

Como não conhecemos o desvio padrão da população, vamos usar o teste t de Student. A fórmula para o teste é:
t = barx - mu0s / raizn
Onde:
  • t = 9,1 - 9,00,2 / raiz36 = 0,10,0333 approx 3,0 é a média da amostra (9,1)
  • é a média hipotética (9,0)
  • é o desvio padrão (0,2)
  • é o tamanho da amostra (36)
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, vamos encontrar o valor crítico para o teste t com nível de significância de 5% e graus de liberdade . Como é um teste bicaudal, dividimos o alfa por 2.
Consultando a tabela t, para e , o valor crítico é aproximadamente 2,030.

Passo 7

Comparamos o valor calculado de t (3,0) com o valor crítico (2,030):
  • Se |t| > 2,030, rejeitamos H₀.
  • Se |t| ≤ 2,030, não rejeitamos H₀.
Como 3,0 > 2,030, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base nos cálculos, rejeitamos a hipótese nula. Isso significa que há evidências suficientes para afirmar que a concentração média de fósforo total no efluente da ETE é diferente de 9,0, com 5% de nível de significância.

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