Em uma fábrica de componentes elétricos, 5 % dos produtos são defeituosos. Um teste de qualidade detecta defeitos com 98 % de precisão, mas também tem uma taxa de falso positivo
de 1 %. Se um componente foi identificado como defeituoso, qual é a probabilidade de que ele realmente seja defeituoso?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre uma fábrica que produz componentes elétricos. Sabe aquele componente defeituoso? Pois é, 5% deles são realmente defeituosos. Agora, essa fábrica tem um teste de qualidade que é bem bom: ele identifica defeitos com 98% de precisão. Mas, tem uma pegadinha: às vezes, ele marca como defeituoso algo que não é, com 1% de chance. A gente quer saber: se o teste disse que o componente é defeituoso, qual a chance dele realmente ser defeituoso? Vamos usar um pouco de probabilidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as informações que temos:
  • Probabilidade do componente ser defeituoso (P(D)): 5%, ou 0,05.
  • Probabilidade do teste detectar corretamente um defeito (P(T|D)): 98%, ou 0,98.
  • Probabilidade do teste dar falso positivo (P(T|¬D)): 1%, ou 0,01.
Aqui, usamos conceitos de probabilidade condicional, que nos ajudam a encontrar a probabilidade de um evento ocorrer, dado que outro evento já aconteceu.

Passo 3

Para resolver esse tipo de problema, vamos usar o Teorema de Bayes. Ele nos ajuda a inverter uma probabilidade condicional. A fórmula do Teorema de Bayes é:
P(D|T) = P(T|D) times P(D)P(T)
Onde:
  • é a probabilidade do componente ser defeituoso dado que o teste deu positivo.
  • é a probabilidade do teste dar positivo se o componente for realmente defeituoso.
  • é a probabilidade do componente ser defeituoso.
  • é a probabilidade do teste dar positivo, independentemente de ser defeituoso ou não.

Passo 4

Agora, vamos calcular P(T) = P(T|D) times P(D) + P(T|¬D) times P(¬D) , que é a probabilidade do teste dar positivo. Isso pode acontecer de duas maneiras:
  1. O componente é defeituoso e o teste detecta isso.
  2. O componente não é defeituoso, mas o teste dá um falso positivo.
Então:
Sabemos que .

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula:
P(T) = 0,98 times 0,05 + 0,01 times 0,95
Calculando:
P(T) = 0,049 + 0,0095 = 0,0585

Passo 6

Agora, voltamos ao Teorema de Bayes para encontrar P(D|T) = 0,98 times 0,050,0585 :
0,98 times 0,05 = 0,049
Calculando o numerador:
P(D|T) = 0,0490,0585 approx 0,8376
Então:

Resposta

A probabilidade de que o componente realmente seja defeituoso, dado que o teste indicou defeito, é de aproximadamente 83,76%.

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