Em uma fábrica de componentes elétricos,
dos produtos são defeituosos. Um teste de qualidade detecta defeitos com
de precisão, mas também tem uma taxa de falso positivo
de
. Se um componente foi identificado como defeituoso, qual é a probabilidade de que ele realmente seja defeituoso?
de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre uma fábrica que produz componentes elétricos. Sabe aquele componente defeituoso? Pois é, 5% deles são realmente defeituosos. Agora, essa fábrica tem um teste de qualidade que é bem bom: ele identifica defeitos com 98% de precisão. Mas, tem uma pegadinha: às vezes, ele marca como defeituoso algo que não é, com 1% de chance. A gente quer saber: se o teste disse que o componente é defeituoso, qual a chance dele realmente ser defeituoso? Vamos usar um pouco de probabilidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as informações que temos:
- Probabilidade do componente ser defeituoso (P(D)): 5%, ou 0,05.
- Probabilidade do teste detectar corretamente um defeito (P(T|D)): 98%, ou 0,98.
- Probabilidade do teste dar falso positivo (P(T|¬D)): 1%, ou 0,01.
Aqui, usamos conceitos de probabilidade condicional, que nos ajudam a encontrar a probabilidade de um evento ocorrer, dado que outro evento já aconteceu.
Passo 3
Para resolver esse tipo de problema, vamos usar o Teorema de Bayes. Ele nos ajuda a inverter uma probabilidade condicional. A fórmula do Teorema de Bayes é:
Onde:
-
é a probabilidade do componente ser defeituoso dado que o teste deu positivo. -
é a probabilidade do teste dar positivo se o componente for realmente defeituoso. -
é a probabilidade do componente ser defeituoso. -
é a probabilidade do teste dar positivo, independentemente de ser defeituoso ou não.
Passo 4
Agora, vamos calcular
, que é a probabilidade do teste dar positivo. Isso pode acontecer de duas maneiras:
- O componente é defeituoso e o teste detecta isso.
- O componente não é defeituoso, mas o teste dá um falso positivo.
Então:
Sabemos que
.
Passo 5
Vamos substituir os valores na fórmula:
Calculando:
Passo 6
Agora, voltamos ao Teorema de Bayes para encontrar
:
Calculando o numerador:
Então:
Resposta
A probabilidade de que o componente realmente seja defeituoso, dado que o teste indicou defeito, é de aproximadamente 83,76%.
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