Um sistema de monitoramento de temperatura de um motor detecta sobreaquecimento com uma precisão de
. Entretanto, o sistema também gera falsos positivos em
dos casos. Se a probabilidade real de sobreaquecimento for de
, qual a probabilidade de que o motor esteja realmente sobreaquecido dado que o sistema indicou sobreaquecimento?
Passo 1
Vamos resolver um problema de probabilidade envolvendo um sistema de monitoramento de temperatura de um motor. O conteúdo principal aqui é a Probabilidade Condicional, que nos ajuda a determinar a chance de um evento ocorrer dado que outro evento já aconteceu. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como taxa de acerto do sistema, falsos positivos e a probabilidade real de sobreaquecimento.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
- Precisão do sistema (verdadeiros positivos): 97%, ou seja, quando o motor está sobreaquecido, o sistema identifica corretamente em 97% dos casos.
- Falsos positivos: 4%, ou seja, quando o motor não está sobreaquecido, o sistema ainda indica sobreaquecimento em 4% das vezes.
- Probabilidade real de sobreaquecimento: 2%.
Passo 3
Queremos encontrar a probabilidade de que o motor esteja realmente sobreaquecido dado que o sistema indicou sobreaquecimento. Esse é um caso clássico para aplicar o Teorema de Bayes.
O Teorema de Bayes é dado por:
Onde:
-
é a probabilidade de A ocorrer dado que B ocorreu. -
é a probabilidade de B ocorrer dado que A ocorreu. -
e são as probabilidades de A e B, respectivamente.
Passo 4
Vamos identificar cada termo no nosso contexto:
-
: O motor está realmente sobreaquecido. -
: O sistema indicou sobreaquecimento.
Então, temos:
-
(2% de probabilidade real de sobreaquecimento). -
(97% de precisão do sistema). -
(4% de falsos positivos, ou seja, o sistema indica sobreaquecimento mesmo quando não há).
Passo 5
Precisamos calcular
, que é a probabilidade total de o sistema indicar sobreaquecimento. Isso inclui os casos em que o motor realmente sobreaquece e os casos de falsos positivos.
Sabemos que
.
Passo 6
Calculando
:
Passo 7
Agora, aplicamos o Teorema de Bayes para encontrar
:
Resposta
A probabilidade de que o motor esteja realmente sobreaquecido dado que o sistema indicou sobreaquecimento é de aproximadamente 33,1%.