Um sistema de monitoramento de temperatura de um motor detecta sobreaquecimento com uma precisão de 97 %. Entretanto, o sistema também gera falsos positivos em 4 % dos casos. Se a probabilidade real de sobreaquecimento for de 2 %, qual a probabilidade de que o motor esteja realmente sobreaquecido dado que o sistema indicou sobreaquecimento?

Passo 1

Vamos resolver um problema de probabilidade envolvendo um sistema de monitoramento de temperatura de um motor. O conteúdo principal aqui é a Probabilidade Condicional, que nos ajuda a determinar a chance de um evento ocorrer dado que outro evento já aconteceu. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como taxa de acerto do sistema, falsos positivos e a probabilidade real de sobreaquecimento.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • Precisão do sistema (verdadeiros positivos): 97%, ou seja, quando o motor está sobreaquecido, o sistema identifica corretamente em 97% dos casos.
  • Falsos positivos: 4%, ou seja, quando o motor não está sobreaquecido, o sistema ainda indica sobreaquecimento em 4% das vezes.
  • Probabilidade real de sobreaquecimento: 2%.

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de que o motor esteja realmente sobreaquecido dado que o sistema indicou sobreaquecimento. Esse é um caso clássico para aplicar o Teorema de Bayes.
O Teorema de Bayes é dado por:
P(A|B) = P(B|A) cdot P(A)P(B)
Onde:
  • é a probabilidade de A ocorrer dado que B ocorreu.
  • é a probabilidade de B ocorrer dado que A ocorreu.
  • e são as probabilidades de A e B, respectivamente.

Passo 4

Vamos identificar cada termo no nosso contexto:
  • : O motor está realmente sobreaquecido.
  • : O sistema indicou sobreaquecimento.
Então, temos:
  • (2% de probabilidade real de sobreaquecimento).
  • (97% de precisão do sistema).
  • (4% de falsos positivos, ou seja, o sistema indica sobreaquecimento mesmo quando não há).

Passo 5

Precisamos calcular P(B) = P(B|A) cdot P(A) + P(B|neg A) cdot P(neg A) , que é a probabilidade total de o sistema indicar sobreaquecimento. Isso inclui os casos em que o motor realmente sobreaquece e os casos de falsos positivos.
Sabemos que .

Passo 6

Calculando P(B) = (0,97 cdot 0,02) + (0,04 cdot 0,98) = 0,0194 + 0,0392 = 0,0586 :

Passo 7

Agora, aplicamos o Teorema de Bayes para encontrar P(A|B) = 0,97 cdot 0,020,0586 = 0,01940,0586 approx 0,331 :

Resposta

A probabilidade de que o motor esteja realmente sobreaquecido dado que o sistema indicou sobreaquecimento é de aproximadamente 33,1%.

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