Em uma fábrica de embalagens, uma máquina embala caixas com potes. Supõe-se que uma nova máquina embalaria mais rápido, em média, do que a máquina usada atualmente. Para testar a hipótese, o tempo que cada máquina leva para embalar dez caixas é registrado. O resultado em segundos é o seguinte.
Nova Máquina: 42.1, 41.0, 41.3, 41.8, 42.4, 42.8, 43.2, 42.3, 41.8, 42.7
Máquina Antiga: 42.7, 43.6, 43.8, 43.3, 42.5, 43.5, 43.1, 41.7, 44.0, 44.1
(a) Faça um teste t (unilateral) para determinar se a hipótese nula deve ser aceita. Se fosse um teste bilateral, a conclusão seria a mesma?
(b) Execute um teste F para determinar se a hipótese nula deve ser aceita.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre comparar o tempo que duas máquinas levam para embalar dez caixas cada. A gente tem os tempos registrados para a Nova Máquina e para a Máquina Antiga. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre Testes de Hipóteses, especificamente o Teste t e o Teste F. Para resolver isso, vamos precisar calcular médias, variâncias e usar essas informações nos testes estatísticos.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados:
Nova Máquina: 42.1, 41.0, 41.3, 41.8, 42.4, 42.8, 43.2, 42.3, 41.8, 42.7
Máquina Antiga: 42.7, 43.6, 43.8, 43.3, 42.5, 43.5, 43.1, 41.7, 44.0, 44.1
Vamos calcular a média ( x) e o desvio padrão (s) para cada grupo.

Passo 3

Vamos calcular a média da Nova Máquina:
xnova = 42.1 + 41.0 + 41.3 + 41.8 + 42.4 + 42.8 + 43.2 + 42.3 + 41.8 + 42.710 = 422.410 = 42.24 segundos

Passo 4

Agora, a média da Máquina Antiga:
xantiga = 42.7 + 43.6 + 43.8 + 43.3 + 42.5 + 43.5 + 43.1 + 41.7 + 44.0 + 44.110 = 430.910 = 43.09 segundos

Passo 5

Vamos calcular o desvio padrão para cada conjunto. Primeiro, para a Nova Máquina:
snova = raizsum (xi - xnova)^2n-1 = raiz(42.1-42.24)^2 + dots + (42.7-42.24)^29 approx 0.62

Passo 6

Agora, para a Máquina Antiga:
santiga = raizsum (xi - xantiga)^2n-1 = raiz(42.7-43.09)^2 + dots + (44.1-43.09)^29 approx 0.72

Passo 7

Vamos fazer o Teste t (unilateral) para ver se a nova máquina é mais rápida. A hipótese nula ( H0) é que não há diferença ou que a nova máquina não é mais rápida. A hipótese alternativa ( Ha) é que a nova máquina é mais rápida.
A fórmula do teste t é:
t = xantiga - xnovaraizsantiga^2nantiga + snova^2nnova
Substituindo os valores:
t = 43.09 - 42.24raiz0.72^210 + 0.62^210 approx 0.85raiz0.0518 + 0.0384 approx 0.85raiz0.0902 approx 0.850.300 approx 2.83

Passo 8

Agora, vamos verificar o valor crítico para um teste unilateral com df = nantiga + nnova - 2 = 18. Supondo um nível de significância de 5%, o valor crítico tcríticoí é aproximadamente 1.734.
Como 2.83 > 1.734, rejeitamos a hipótese nula. Isso indica que a nova máquina é, de fato, mais rápida.
Se fosse um teste bilateral, a conclusão não seria a mesma, porque no teste bilateral a diferença poderia ser de qualquer direção, mas ainda rejeitaríamos a hipótese nula. Contudo, a pergunta específica sobre a conclusão ser a mesma, e nesse caso sim, rejeitamos a nula em ambos os testes.

Passo 9

Para o Teste F, vamos comparar as variâncias. A hipótese nula ( H0) é que as variâncias são iguais, e a hipótese alternativa ( Ha) é que são diferentes.
A fórmula do teste F é:
F = santiga^2snova^2 = 0.72^20.62^2 approx 0.51840.3844 approx 1.35
Consultando a tabela F para df1=9 e df2=9 e nível de significância de 5%, o valor crítico é aproximadamente 3.18.
Como 1.35 < 3.18, não rejeitamos a hipótese nula. Ou seja, não há evidências suficientes para dizer que as variâncias são diferentes.

Resposta

(a) Realizando o teste t unilateral, rejeitamos a hipótese nula, concluindo que a nova máquina é mais rápida. Se fosse um teste bilateral, a conclusão seria a mesma.
(b) No teste F, não rejeitamos a hipótese nula, indicando que não há diferença significativa nas variâncias entre as máquinas.

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