Queremos comparar as alturas (em polegadas) de dois grupos de arbustos que serão utilizados em uma área designada para implantação de um novo sistema de reflorestamento. As medidas estão logo a seguir.
(a) teste a igualdade de variâncias, use
(b) teste a igualdade de médias, considerando as variâncias populacionais iguais, use
© teste a igualdade de médias, considerando as variâncias populacionais desiguais, use
(d) comente as suposições feitas e os resultados obtidos nos itens anteriores
(b) teste a igualdade de médias, considerando as variâncias populacionais iguais, use
© teste a igualdade de médias, considerando as variâncias populacionais desiguais, use
(d) comente as suposições feitas e os resultados obtidos nos itens anteriores
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado quer comparar as alturas de dois grupos de arbustos usando testes estatísticos. Vamos trabalhar com dados de alturas em polegadas para os grupos X e Y. Para isso, vamos precisar calcular médias, variâncias e aplicar alguns testes de hipótese, tudo com um nível de confiança de 95% (α=0,05).
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média e a variância de cada grupo. A média é a soma das alturas dividida pelo número de arbustos. A variância mede o quanto as alturas variam em relação à média.
Para o grupo X:
- Alturas: 175, 168, 168, 190, 156, 181, 182, 175, 174, 179
- Média (X̄): (175 + 168 + 168 + 190 + 156 + 181 + 182 + 175 + 174 + 179) / 10 = 174,8 polegadas
- Variância (s²_X): Calculamos a soma dos quadrados das diferenças de cada altura para a média e dividimos por (n-1). O resultado é aproximadamente 87,29.
Para o grupo Y:
- Alturas: 120, 180, 125, 188, 130, 190, 110, 185, 112, 188
- Média (Ȳ): (120 + 180 + 125 + 188 + 130 + 190 + 110 + 185 + 112 + 188) / 10 = 152,8 polegadas
- Variância (s²_Y): Fazendo o mesmo cálculo, obtemos aproximadamente 1278,18.
Passo 3
(a) Teste de igualdade de variâncias
Vamos usar o teste F para verificar se as variâncias dos dois grupos são iguais.
Vamos usar o teste F para verificar se as variâncias dos dois grupos são iguais.
- Fórmula do teste F: F = s²_X / s²_Y = 87,29 / 1278,18 ≈ 0,0682
- Como o F calculado é menor que 1, invertemos para ter F > 1: F = 1278,18 / 87,29 ≈ 14,638
- Consultando a tabela F para α=0,05 e graus de liberdade df1=9 e df2=9, o valor crítico é aproximadamente 4,254.
- Como 14,638 > 4,254, rejeitamos a hipótese nula de que as variâncias são iguais.
Passo 4
(b) Teste de igualdade de médias (variâncias iguais)
Mesmo sabendo que as variâncias não são iguais, vamos seguir o que a questão pede e assumir variâncias iguais.
Mesmo sabendo que as variâncias não são iguais, vamos seguir o que a questão pede e assumir variâncias iguais.
- Variância agrupada (s_p²) = [(9 * 87,29) + (9 * 1278,18)] / 18 ≈ 682,73
- Erro padrão (SE) = √(s_p² * (1/10 + 1/10)) ≈ 11,68
- Diferença entre as médias: 174,8 - 152,8 = 22
- Estatística t: t = 22 / 11,68 ≈ 1,887
- Graus de liberdade: 18
- Valor crítico t para α=0,05 e df=18 é aproximadamente 2,101.
- Como 1,887 < 2,101, não rejeitamos a hipótese nula de igualdade das médias.
Passo 5
© Teste de igualdade de médias (variâncias desiguais)
Agora, vamos usar o teste t de Welch, que não assume variâncias iguais.
Agora, vamos usar o teste t de Welch, que não assume variâncias iguais.
- Erro padrão (SE) = √(87,29/10 + 1278,18/10) ≈ 11,688
- Estatística t: t = 22 / 11,688 ≈ 1,884
- Graus de liberdade ajustados ≈ 10,24
- Valor crítico t para α=0,05 e df≈10 é aproximadamente 2,228.
- Como 1,884 < 2,228, ainda não rejeitamos a hipótese nula de igualdade das médias.
Passo 6
(d) Comentário sobre suposições e resultados
No item (a), vimos que as variâncias dos grupos X e Y são significativamente diferentes. Isso indica que a suposição de variâncias iguais não se sustenta. Nos itens (b) e ©, aplicamos testes de médias considerando, respectivamente, variâncias iguais e desiguais. Ambos os testes não rejeitaram a hipótese de igualdade das médias, sugerindo que não há diferença significativa nas alturas médias dos dois grupos de arbustos dentro do nível de confiança de 95%.
No item (a), vimos que as variâncias dos grupos X e Y são significativamente diferentes. Isso indica que a suposição de variâncias iguais não se sustenta. Nos itens (b) e ©, aplicamos testes de médias considerando, respectivamente, variâncias iguais e desiguais. Ambos os testes não rejeitaram a hipótese de igualdade das médias, sugerindo que não há diferença significativa nas alturas médias dos dois grupos de arbustos dentro do nível de confiança de 95%.
Resposta
Após os testes realizados, concluímos que as variâncias dos dois grupos são diferentes. Além disso, não há evidências suficientes para afirmar que as médias das alturas dos arbustos dos grupos X e Y diferem significativamente.