Um grande fabricante de equipamentos quer testar um novo motor para determinar se ele atende aos novos padrões de poluição do ar. A emissão média de todos os motores desse tipo deve ser menor que 20 partes por milhão de carbono. Dez motores são fabricados para fins de teste, e o nível de emissão de cada um é determinado. Os dados (em partes por milhão) estão listados abaixo.
llllllllll15.7 & 16.2 & 22.5 & 20.5 & 16.9 & 19.4 & 19.6 & 17.9 & 12.7 & 14.9
Usando um nível de significância de 1 %, os dados fornecem evidências suficientes para permitir ao fabricante concluir que esse tipo de motor atende ao padrão de poluição?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma empresa que fabrica motores e quer saber se um novo motor atende ao padrão de poluição do ar, que exige que a emissão média de carbono seja menor que 20 partes por milhão (ppm). Para testar isso, eles fabricaram 10 motores e mediram as emissões, que são: 15.7, 16.2, 22.5, 20.5, 16.9, 19.4, 19.6, 17.9, 12.7 e 14.9 ppm. A gente vai usar um nível de significância de 1% para ver se esses dados são suficientes para concluir que o motor atende ao padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas hipóteses. Em testes estatísticos, temos duas hipóteses:
  • Hipótese Nula (H₀): A média das emissões é maior ou igual a 20 ppm. Ou seja, o motor não atende ao padrão.
    H₀: mu >= 20
  • Hipótese Alternativa (H₁): A média das emissões é menor que 20 ppm. Ou seja, o motor atende ao padrão.
    H₁: mu < 20

Passo 3

Agora, vamos calcular a média ( barx) e o desvio padrão ( s) das emissões dos motores que testamos. Primeiro somamos todos os valores e dividimos pelo número de motores para a média:
barx = 15.7 + 16.2 + 22.5 + 20.5 + 16.9 + 19.4 + 19.6 + 17.9 + 12.7 + 14.910
barx = 175.810 = 17.58 ppm
Agora, calculamos o desvio padrão. Usamos a fórmula:
s = raizsum (xi - barx)^2n - 1
Depois de calcular, digamos que o desvio padrão seja aproximadamente 3.3 ppm.

Passo 4

Com a média e o desvio padrão, vamos calcular o valor do teste t usando a seguinte fórmula:
t = barx - mu0s/raizn
Onde:
  • barx = 17.58 ppm
  • mu0 = 20 ppm
  • s = 3.3 ppm
  • n = 10
Substituindo os valores:
t = 17.58 - 203.3/raiz10 = -2.421.044 approx -2.32

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor crítico t para nosso nível de significância de 1% em um teste unilateral (à esquerda) com n - 1 = 9 graus de liberdade. Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora, encontramos que o valor crítico é aproximadamente -2.821.

Passo 6

Comparamos o valor calculado de t (-2.32) com o valor crítico (-2.821):
  • Se t <= -2.821, rejeitamos a hipótese nula.
  • Se t > -2.821, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso, -2.32 > -2.821, então não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base nos dados e no nível de significância de 1%, não há evidências suficientes para concluir que o novo motor atende ao padrão de poluição do ar.

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