Numa fábrica foram instaladas 1000 lâmpadas novas. Sabe-se que a duração das lâmpada, em horas, segue distribuição N(800 ; 10000). Determine:
A duração máxima dos 2 % das lâmpadas que duram menos.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma fábrica que instalou 1000 lâmpadas novas. A duração dessas lâmpadas, em horas, segue uma distribuição normal com média de 800 horas e variância de 10.000 horas², ou seja, desvio padrão de 100 horas (já que o desvio padrão é a raiz quadrada da variância). O que precisamos descobrir é qual é o tempo máximo que os 2% das lâmpadas que duram menos vão ter. Basicamente, estamos buscando o valor abaixo do qual 2% das lâmpadas vão se encaixar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma distribuição normal é simétrica e é totalmente descrita pela sua média ( mu) e desvio padrão ( sigma). No nosso caso, mu = 800 horas e sigma = 100 horas. Queremos achar um valor X tal que P(Lampada < X) = 0,02 (ou 2%). Esse valor X é conhecido como percentil.

Passo 3

Para encontrar esse valor X, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão, que nos dá os valores de Z correspondentes a certas probabilidades. Primeiro, precisamos achar o valor de Z que corresponde a uma área de 0,02 à sua esquerda.

Passo 4

Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma função de inversão (como a função inversa de distribuição normal em uma calculadora), encontramos que o valor de Z para 2% é aproximadamente Z = -2,05.

Passo 5

Agora que temos o valor de Z, podemos usar a fórmula de padronização para encontrar X:
X = mu + Z times sigma
Substituindo os valores:
X = 800 + (-2,05) times 100

Passo 6

Fazendo as contas:
X = 800 - 205 = 595 horas

Resposta

A duração máxima das 2% das lâmpadas que duram menos é de aproximadamente 595 horas.

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