Numa fábrica foram instaladas 1000 lâmpadas novas. Sabe-se que a duração das lâmpada, em horas, segue distribuição
. Determine:
A duração máxima dos
das lâmpadas que duram menos.
A duração máxima dos
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma fábrica que instalou 1000 lâmpadas novas. A duração dessas lâmpadas, em horas, segue uma distribuição normal com média de 800 horas e variância de 10.000 horas², ou seja, desvio padrão de 100 horas (já que o desvio padrão é a raiz quadrada da variância). O que precisamos descobrir é qual é o tempo máximo que os 2% das lâmpadas que duram menos vão ter. Basicamente, estamos buscando o valor abaixo do qual 2% das lâmpadas vão se encaixar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma distribuição normal é simétrica e é totalmente descrita pela sua média (
) e desvio padrão (
). No nosso caso,
horas e
horas. Queremos achar um valor
tal que
(ou 2%). Esse valor
é conhecido como percentil.
Passo 3
Para encontrar esse valor
, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão, que nos dá os valores de
correspondentes a certas probabilidades. Primeiro, precisamos achar o valor de
que corresponde a uma área de 0,02 à sua esquerda.
Passo 4
Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma função de inversão (como a função inversa de distribuição normal em uma calculadora), encontramos que o valor de
para 2% é aproximadamente
.
Passo 5
Agora que temos o valor de
, podemos usar a fórmula de padronização para encontrar
:
Substituindo os valores:
Passo 6
Fazendo as contas:
Resposta
A duração máxima das 2% das lâmpadas que duram menos é de aproximadamente 595 horas.