Em uma fábrica de produtos químicos, há três fornecedores de uma matériaprima: X, Y e Z. A probabilidade de receber a matéria-prima de cada fornecedor é P(X)=0.4, P(Y)=0.35 e P(Z)=0.25. A probabilidade de a matéria-prima ser de baixa qualidade, dado o fornecedor, é P(B mid X)=0.02, P(B mid Y)=0.05 e P(B mid Z)=0.1. Qual a probabilidade de receber matériaprima de baixa qualidade (P(B)) ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma fábrica que compra matéria-prima de três fornecedores: X, Y e Z. As probabilidades de receber matéria-prima de cada fornecedor são $ P(X) = 0.4 $, $ P(Y) = 0.35 $ e $ P(Z) = 0.25 $. Além disso, cada fornecedor tem uma probabilidade diferente de entregar matéria-prima de baixa qualidade: $ P(B \mid X) = 0.02 $, $ P(B \mid Y) = 0.05 $ e $ P(B \mid Z) = 0.1 $. Nosso objetivo é descobrir a probabilidade geral de receber matéria-prima de baixa qualidade, ou seja, $ P(B) $.

Passo 2

Para resolver isso, vamos usar a Regra da Probabilidade Total. Essa regra nos ajuda a calcular a probabilidade de um evento acontecer considerando todas as maneiras pelas quais ele pode ocorrer. No nosso caso, o evento “receber matéria-prima de baixa qualidade” pode acontecer se a matéria-prima for de X, Y ou Z. Então, a probabilidade total $ P(B) $ será a soma das probabilidades de receber baixa qualidade de cada fornecedor, multiplicadas pela probabilidade de comprar de cada fornecedor.

Passo 3

Vamos montar a fórmula baseada na Regra da Probabilidade Total:
P(B) = P(B mid X) times P(X) + P(B mid Y) times P(Y) + P(B mid Z) times P(Z)
Isso significa que vamos multiplicar a probabilidade de baixa qualidade de cada fornecedor pela probabilidade de comprar desse fornecedor e depois somar tudo.

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores que a questão nos deu na fórmula:
P(B) = (0.02 times 0.4) + (0.05 times 0.35) + (0.1 times 0.25)

Passo 5

Vamos calcular cada parte separadamente:
  • $ 0.02 \times 0.4 = 0.008 $
  • $ 0.05 \times 0.35 = 0.0175 $
  • $ 0.1 \times 0.25 = 0.025 $

Passo 6

Agora, somamos esses resultados para encontrar $ P(B) $:
P(B)

Resposta

A probabilidade de receber matéria-prima de baixa qualidade é $ P(B) = 0.0505 $ ou 5,05 %.

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