Em um mercado, a probabilidade de um cliente comprar um produto de uma determinada marca M é P(M)=0.25. Se um cliente compra essa marca, a probabilidade de ele recomendar o produto é P(R mid M)=0.7. Se o cliente não compra a marca M, a probabilidade de recomendar o produto é P(R mid M^c)=0.1. Se um cliente recomenda o produto, qual a probabilidade de ele ter comprado a marca M(P(M mid R)) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a probabilidade de um cliente comprar e recomendar um produto de uma marca específica M. A gente precisa encontrar a probabilidade de um cliente ter comprado a marca M, dado que ele recomendou o produto, que é P(M mid R). Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e o Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada probabilidade significa:
  • P(M) = 0.25: Probabilidade de um cliente comprar a marca M.
  • P(R mid M) = 0.7: Se o cliente comprou a marca M, a probabilidade de ele recomendar.
  • P(R mid M^c) = 0.1: Se o cliente não comprou a marca M, a probabilidade de ele recomendar.
Queremos encontrar P(M mid R), ou seja, a probabilidade de o cliente ter comprado a marca M sabendo que ele recomendou o produto.

Passo 3

Vamos usar o Teorema de Bayes, que relaciona essas probabilidades. O teorema diz:
P(M mid R) = P(R mid M) cdot P(M)P(R)
Então, precisamos calcular P(R) para usar nessa fórmula.

Passo 4

Para encontrar P(R), que é a probabilidade de um cliente recomendar o produto de qualquer forma, podemos considerar duas situações: ele comprou a marca M ou não comprou. Assim:
P(R) = P(R mid M) cdot P(M) + P(R mid M^c) cdot P(M^c)
Sabemos que P(M^c) = 1 - P(M) = 1 - 0.25 = 0.75.

Passo 5

Agora, vamos calcular P(R):
P(R) = (0.7) cdot (0.25) + (0.1) cdot (0.75) P(R) = 0.175 + 0.075 P(R) = 0.25
Com isso, podemos voltar ao Teorema de Bayes:
P(M mid R) = 0.7 cdot 0.250.25 = 0.1750.25 = 0.7

Resposta

A probabilidade de um cliente ter comprado a marca M dado que ele recomendou o produto é P(M mid R) = 0.7 ou 70%.

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