Uma pesquisa de mercado segmenta os consumidores em três grupos:
e
. As probabilidades de um consumidor pertencer a cada grupo são
e
. A probabilidade de um consumidor comprar um produto, dado o grupo, é
e
. Determine a probabilidade de um consumidor comprar o produto
.
Passo 1
Então, pessoal, vamos dar uma olhada nesse problema de probabilidade. A gente tem três grupos de consumidores: $ G_{1} $, $ G_{2} $ e $ G_{3} $. Sabemos a chance de um consumidor estar em cada grupo e também a probabilidade de ele comprar um produto, dependendo do grupo. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a probabilidade total de um consumidor comprar esse produto, ou seja, $ P© $. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Probabilidade Total, que nos ajuda a calcular a probabilidade de um evento acontecer considerando todas as possibilidades que o levam a ocorrer.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o Teorema da Probabilidade Total. Ele diz que se temos vários caminhos pelos quais um evento pode acontecer, a probabilidade desse evento é a soma das probabilidades de cada caminho acontecer multiplicada pela probabilidade do evento dado aquele caminho. No nosso caso, os “caminhos” são os grupos $ G_{1} $, $ G_{2} $ e $ G_{3} $.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula ao nosso problema. A probabilidade total de um consumidor comprar o produto $ P© $ é igual à soma das probabilidades de ele estar em cada grupo multiplicada pela probabilidade de comprar o produto nesse grupo. Ou seja:
Passo 4
Vamos substituir os valores que temos no enunciado:
Calculando cada termo:
Agora, somamos esses resultados:
Resposta
A probabilidade de um consumidor comprar o produto é $ P© = 0.54 $ ou 54%.